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1、平面向量六大微专题：从高考到联赛在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的六大微专题，从高考模考的一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备.微专题1.等和线及应用微专题2.极化恒等式微专题3.矩形大法微专题4.三角形四心向量表示微专题5.奔驰定理微专题6.向量隐圆微专题1.等和线及应用如图所示，由于A,PI三点共线，故OA=4Z+b当且仅当l+M=l进一步，若OQ=mOA+nOB=(w+n)(OA+OB)=(m+n)OP=kOP.m+nm+n由于点P在直线AB上的任
2、意性可知，点Q所动成的直线C。平行于直线AB,且直线CQ上任意一点都满足用=3故称直线Co为等和线.此时AQAB相似于AOCQ,因此，我们就可以取特殊情形，即过三点OPQ的直线分别垂直于A8,CQ时，计算hOP = kOQ例1.（2017年3卷）在矩形ABCO中，AB=VAD=I3点P在以C为圆心且与8。相切的圆上，若/=几45+乂3,求4+4的最大值.解析：如图，由等和线性质可知，丸+=”，显然，当8。的平行线/与圆在最上方相切时,E义+取最大，显然此时，直线3。的方程为-+2y-2=0,故可取IAEl为点A（OQ）到直线8。的距离IAEI=由于8。的平行线/与圆（工-+-炉相切，故可得/的
3、方程为x+2y-6=0,那么取IAPl为点A（0,0）到直线/的距离IAEI=A.这样就可得到45(%+ Mmax =AE练习1.（2021绵阳三诊）已知点尸为抛物线E:/=今的焦点，C（0,-2）,过点尸且斜率为1的直线交抛物线于A,B两氤,点P为抛物线上任意一点，若CP=mCA+KB,则加+的最1 - 3A.练习题1.在矩形48CD中/8=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与8。相切的圆上.若”=2A8+44O,则4+4的最大值为（）A.3B.2y2C.5D.22 .如图正六边形28CDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点,AP=xAB+yAF,则x+V的取值范围是.3 .己知在
4、平行四边形ABCD中，M,N分别是边BCfCD的中点,4W与BN相交于点P,记=AB，b=AD,用。涉表示AP的结果是（）12243242AAP=-d+-bB.AP=-d+-bC.AP=-d+-bD.AP=-d+-b55555555武昌区2021届高三年级1月质量检测12题（多选）4 .如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点 F,若 8i = 4C, ED = DA, B = 3BF(i 0) f 则(31A. EB = -EF+-EA44C. y + -的最大值为1 B. = 一4D.EC AD 4EBEA 92021, 3月深圳红岭中学
5、二模第7题AR2AC5 .在力BC中，AC_LAB,力5=3,力C=L点P是力BC所在平面内一点，AP=+ABAC且满足IPMl=2,若AM=XAB+），AC，则3n+y的最小值是（）.A.3+22B.2C.1D.3-226 .给定两个长度为3的平面向量OA和OB，它们的夹角为120。，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧48上运动，OC=xOA+yOBf其中乂ywR,则+V的最大值是；2x+y的最大值是.2021.4湖北部分重点高中高一联考第12题（多选）7 .直角梯形ABCQ中,8J_CD,ADHBCA8。是边长为2的正三角形，P是平面上的动点,I而|=1,AP=AAD+AB（,7?），则几十
6、的值可以为（）A.0B.lC.2D.3浙江省杭州市学军中学2020高一期中第8题8 .如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE=XAZ）+yAP（x,ywR）,则2x+y的最小值为（）A.-1B.1C.2D.32020江苏高考第13题9 .在aABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90o,D在边BC上，延长AD到P,使得AP=9,若PA=仅P百+（IPC（m为常数），则CD的长度是2021.4江苏常熟市高一期中第16题10 .如图，在菱形45CD中，4B=3,ZBAD=QOo,瓦尸分别为8C,C。上的点，CE=IEB.CF=2FD,若线段EF上存在
7、一点M,使得AM=gA8+XAOaER),则X=AMBD=.2021.4成都七中高一期中第12题11.如图，点C是半径为6的扇形圆弧AB上一点，OA-OB=-Sf若OC=XoA+y08，则3x+2y的最大值为（）A,坦B.巨C,旭D,且3333答案解析:全国高考3卷第12题CBL在矩形48CD中,48=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与8D相切的圆上.若A蚱之A班么/版,则；I+ 4的最大值为（A. 3B. 22C. 5【答案】A【解析】设丽=aM瓦&（。收），则AM=信口+也tt设 APWAM，贝IJ AB + AD = AB + AD , + = ta+。+1而t=APAM/=1 +
8、AM AGEPETPE过点C时取最大值，则PE2AG,-2,则z3AG2.如图正六边形Z8CDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设点=X跖+），乐,则+的取值范围是AP【答案】3,4【解析】令4P=fA。,易证x+y = f, /=AQ丝=1+”AQ AGr3,43.己知在平行四边形ABCD中，N分别是边BC1CD的中点,4W与BN相交于点P,记 = AB，b = AD 用。涉表不AP的结果是（）12243 2AAP = -a + -bB.AP = -a + -bC.AP = -a+-b55555 5【答案】B42D. AP = -a + -b 55解析】AM交BD于Q,易知2BQ
9、 = DQ ,21所以AQ = A8 + AD （分点定比恒等式）设AAQ, /1,则有AP（AB+ 。，故选 B【法二】延长BN, AD交于点E4 142AP=-AB+-AE=-AB+-AD5 555a【法三】过M, D作BN平行线41 A 4 2易知 AP=-AM = a + -b = -a + -b55（ 2 J 5 5武昌区2021届高三年级1月质量检测12题（多选）4.如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC, AD的延长线交于点E,对边AB, DC的延长线交于点 F,若3d = ；IC，ED = NDA ,AB = 3BF(,0)f 贝IJ (31A. EB = -EF + -EA
10、 44B. =-4c 3+2的最大值为】EC AD 4D. EB EA 9【答案】ABD【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式）对于B选项：FD =1 c,c, e, FE + FA2FC =FE +1 + 4FB（分点恒等式）FD - tn FC = =4l + I + 4n/U=；（三点共线定理），故B正确补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项.对于D选项:41,故C错误;对于C选项：- EC ADEB EA (l + )(l + )4IT而诉一一鼠故D正确2021.3月深圳红岭中学二模第7题12 .在力Be中，AC.LAB,4B=3,C=f点尸是BC所在平面内一点,Q=箭爵且满足=2,若
11、初+“，则”的最小值是（）.B. 2C. 1D. 3-22【答案】D【解析】若月为原点，则？（1,2）,M在以P为圆心，半径为2的圆上取D(L0),则有AM=3xAD+yAC,AM交CD于N,记AM=tAN，则有3x+y=/maxAMAN、MN,MG,2+2rc6=1+=1+1+-=3+22_AM MN薪=而= A2VAH2ANAH213 .给定两个长度为3的平面向量。A和。B，它们的夹角为120。，如图所示,点C在以。为圆心的圆弧AB上运动，若OC=XQA+）。3,其中x,yR,则+、的最大值是；2+y的最大值是.【答案】【解析】(I)AB交CO于D,设。C=fOZ)(,+oo),易证x+y
12、=fOCt=,当OZ)_LAB时，f取最大值，f11m=2;OM(2)取OA中点E,则OC=2x2+yO3OC交BE于F,设OC=mOEmW(O,y)，易证2x+y=f，二写，当OC时，取最大值，rmax=3普.2021.4湖北部分重点高中高一联考第12题（多选）14 .直角梯形ABCQ中,CBJ_CD,ADHBC,ABD是边长为2的正三角形，P是平面上的动点，I而|=1，设而=义而+蕊(4zR),则几+的值可以为()A.OB.lC.2D.3【答案】BC【解析】如图浙江省杭州市学军中学2020高一期中第8题15 .如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设
13、AE=xAD+yAP(x,y三R),则2x+y的最小值为()A.-1B.1C.2D.3【解析】取AD中点F,则AE=2F+y(x,yR)直线FP交AE于G,设AE=tAGFPG三点共线AG=mAF-m)APAE=tAG-tmAF+/(1-w)APIAElAE=IxAF+yAPIAGl当P在第中点时，G与E重合，此时t取到最小值，%n=l2020江苏高考第13题16 .在AABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90o,D在边BC上，延长AD至IjP,使得AP=9,若PA=mPB+I一0PC(m为常数)，则CD的长度是【答案】0或身5【另解】如图，以4为坐标原点，分别以力B力C所在直线为j，轴建立平面直角坐标系,则用4,0),C(0,3),由EJ=/7+1-J元,得P=zn(PA+48)+(1一所)(PAAC),整理得：京=Tm茄+(2加-3)AC=2制4,0)(2w-3)(0,3)=(-8w,6w9).27由P=9,得64/+(6加-9)=8L解得加=嘀或加=0.当机=0时，75=(0,-9),此时C与D重合，IcDl=0;2796m当2=25时，直线。的方程为J=8mx直线BC的方程为7+3=1，8联立两直线方程可得=a%y=3-2次.(7f21
