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1、数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：%+%=d(d为常数)，an=a+-)d等差中项：x4y成等差数列2A=x+y、,一(a.+an(一1),前n项和S“=-鱼一=Hzz1一Ld2 2性质：%是等差数列(1)假设加+=+4，那么4,r+4=%,+4；(2)数列%“,的”，的”可仍为等差数列，Sft,S2n-Stf9S3n-S2n仍为等差数列，公差为2;(3)假设三个成等差数列，可设为a-&a,a+d(4)假设可，或是等差数列,且前项和分别为S.,Tnf那么A*=t(5)q为等差数列OS”=。/+加S,b为常数,是关于的常数项为。的二次函数)。S的最值可求二次函数S“二所2+加的最值；或
2、者求出4中的正、负分界项，(即：当0f00,d0,解不等式组”-可得5到达最大值时的值;当q0,由一IA+酹。IAz0可得S到达最小值时的值.)(6)项数为偶数2的等差数列4,有S2”=11(al+02rt)=(%+?T)=(+%+】)(%,%+为中间两项)S偶一S奇=，氏=.3 偶an+(7)项数为奇数2-1的等差数列4,有Szi=(2-1)%(。”为中间项)，S奇-S偶=勺，裳=*SG?=孙，或G=J叫(q=D前n项和：5=a.(-qn-4-Dq性质：q是等比数列(1)假设6+=+4，那么4J=%,%(2)Sn,52n-,S3n-S2n仍为等比数列,公比为夕.3 .求数列通项公式的常用方法
3、例1：数列(,+-2+Jr4=2+5,求为解=1时，-a=2l5,21.q=14C11“2时，2%+22%+*2=2+511耳4+铲+1+尸7%=2n-l+5一得：枭“=2,I.4=2,a=2Sn=4。2时，an=S11-S“_=34,l故zj=-J一4,=1由递推公式求明(D累加法(%-%=/()形式)例2：数列也中，q=L%=3+4t52),求为解：2时，1一%-2=3”一2累加得=3+3?+3t=3(3-1)2a2-a1=3.”=；(3-D(2)累乘法(附二/5)形式)例3：数列中，4=?,%1=一，求ann+feva、%an12n-.。1.3解：一_!_=_,=一又卬=3,“二一aa2
4、an_23nann(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)取倒构造(。向等于关于”的分式表达)例4：4=1,。川=3、，求/4 +2bji.zq1q+211,111解：由得：一=-+,.=-4出2q2anan+an2._L,为等差数列，=1,公差为,，.L=+(-)L=L(+),4Jal2an22.2%=Fn+同除构造例5：a1=l,rt+l=3an+3”,求凡。解：对上式两边同除以3向，得智=2+1，那么为等差数列，红=L3n+13n33h33/.3QW-I公差为一，.=+(-1)-=.a=n-3。333333例6：ax=1,an+1=2an+3+l,求凡。解：对上式两边同除以
5、2向，得驾=2+(3严，令btl=a，那么有2+,2n22ZXj+1()2_(；)41Q%乜=尚，累加法可得2-4=L；又44丹,那么L)4oZZ3bn=-(一)n-,即2=-(-y-9an=-2w+-o“4282“428”84例7：%=1,%-4_|+T=0,求/o解：对上式两边同除以。/门，得-+2=0,即-L=-L+2,那么(1-为%ananan-1%.等差数列，=1,公差为2,，2=1+2(-1)=2一1,，%=oaan2-1取对构造(涉及%的平方)例8：al=3,4,1=3a：,求.解：对上式两边取对数，得Ig。+1=Ig由对数运算性质得Ig4+=21g+Ig3两边同时加lg3,整理
6、得Iga”+1+Ig3=2(Igan+尼3),即尼3%+=2修。”,那么也3为公比为2的等比数列，由此推知%通项公式。等比型(常用待定系数)例9：ax=l,rt+l=3afi+2,求。”。解：待定系数法设上式可化为如下形式：%+%=3(%+%),整理可知2Z=2,那么左=1,原式可化为+l=3(%+l),那么%+l为公比二3的等比数列，由此推知通项公式。例10：%=2,%+=4。-3+1,求明。解：待定系数法设上式可化为如下形式：%+&5+l)+b=4(%+%+,整理可知Ak=-3,得一=1力=0,；原式可化为(+1)=4(6),那么“一为公比36Z=1=4的等比数列，由此推知通项公式。提公因
7、式例11：a=l,aw+1an+=2atl,求。解：上式变形为1,等号左边提公因式得勺（。用-1）=勺-1,。向-1=,两边取倒数得一二,一=+1,一为公差为1an4+1-1an-1a,1IA-L的等差数列，由此推知%通项公式。例12：al=2,a2=3,2m+1=3an-an_1(Sn2),求。“。解：上式变形为2%+|-1an=an-atl,2(-%-4T，令2=%+-%，那么11f1n-i（1n-i久=h为首项仇=1,公比为1的等比数列，a=,/+4=:；，ZJI，/由累加法可求得%通项公式。4.求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)例13：111-+2-+3-+O248
8、2”解：原式=1+2+-+3+-+h+-=(1+2+3+zj)+(-+-+-+)24822482l(l-)_n(+l)22_1+(九+1)2-+i-2+-2-1 2常用:1_1 n(n + ) n n + (2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)=(-r);-T=Iy=4n+-4non(n+2)2n+2n+nl（3）错位相减（通项可表示为等差乘等比的形式）例14：Sm=1+2x+32+4x3+nx,i求5“。解:Sn=1+2x+3x2+4x3+nx,lxSn=x+2x2+3%3+4x4+(-l)x,l+nxn(2)(1-x)5,j=1+x+x2+x,l-n(
9、l-x)nxnn(n+)XHI时，s!一一,X=I时，S=1+2+3+n=L(I-力2I-X“2练习求数列的前项和Si(答案：S71=2-华)2,l2nS,=4+%+ %+MS “=%+的+%+%（4）倒序相加（前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.），相加2S=(q+%)+(%+4)+(+4)5.求数列绝对值的前n项和（根据项的正负，分类讨论）例15：数列%的通项qbll=anf求2的前项和7；。解：设数列,的前项和为S“，q=9,公差d=-2,S”=9+妁片（一2）=10一2+ an = Sn = 1 On- n25时，T11=1+2+J=1+4+n5时，Tn=lill2+la5la6+KI=q+a2+5-(a6+a7+/)=S5-(Sn-S5)=2S5-Slt=50-(0n-n2)=n2-IOn+505
