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1、期末复习12：空间向量与立体几何限时小练，懒惰象生锈一样，比操劳更能消耗身体；经常用的钥匙，总是亮闪闪的。)一、单选题1 .一只蚂蚁从点尸(1,1,0)出发，在。孙和OXZ平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点Q(2,0,2)的最短距离为()A.5B.3C.iD.2+22 .如图，平行六面体48C。-AMCa的各棱长均为2,NAAB=NA60,ZDAB=90,则,G=()A.26B.25C.23D.223 .已知四面体。一A4C,G是ABC的重心,若OG=XQA+yO8+zOC4Jx+y-z=()A.4B.-C.-D.；3324 .已知4(1,0,1),=(LO,1)是平面。的一个法向量,且5(-122
2、)是平面内一点,则点A到平面。的距离为()A.也B.立C.2D.在362二、多选题5 .设直线44的方向向量分别为,2,平面。，尸的法向量分别为则下列命题正确的是()A.若/K,则%4=0B.若/L,则q=0UIClC.若a,则m%wR,使得仆=义%D.若a_L,则“1%6 .已知点P是平行四边形ABCO所在的平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),P=(-1,2-1),下列结论正确的有()A.APVBCB.研与平面ABCZ)的夹角的余弦值为叵3C.人尸是平面尸BC的一个法向量D.AP/BD7 .下列结论正确的是()A.若向量，b,c是空间的一组基底，则+8,b+cc+
3、也是空间的一组基底B.两个不同的平面,夕的法向量分别是二(3,1,-4),V=(2-2,1),则a_L/C.直线/的方向向量=(0,4,0),平面0的法向量=(3,0,-2),则D.若A8=(3,T,-4),AC=(0,2,3),AP=(6,4,1),则P点在平面A8C内8 .如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABC。中，PA_L平面A3CQ,AP=Ae=I,则下列说法正确的是()A.异面直线尸8与AC所成的角为60B.直线Po与平面PAC所成的角为30。C.平面尸8。与平面QAB的夹角为30。D.点C到面AW的距离为近3三、填空题9 .已知向量4=则d在b方向上的投影向量的坐标为10 .已知点
4、A(2,T,1),8(1,-2,1),C(0,0,T),则A到BC的距离为.11 .已知四面体A-BCZ)的所有棱长都是2,点E,F分别是A,。的中点，则EFBA=-12 .如图，在棱长为4的正方体A8CD-4耳CQ中，E为棱BC的中点，P是底面ABCo内的一点(包含边界)，且4PLRE,则线段87的长度的取值范围是.参考答案:1. C【分析】根据空间直角坐标系的坐标表示求解.如图，在棱长为2的正方体48C。-AMGR中，2(1,1,0)为正方形ABCD的中心，Q(2,0,2)为点A,将正方体的面ABCaA。AA展开，如图，所以这只蚂蚁爬到点Q(2,0,2)的最短距离为展开图中E41=屈于=J
5、i6，故选:C.2. B【分析】分析得出AG=AB+A。+AAI,利用平面向量数量积即可求得卜Gl的值.【详解】平行六面体ABC。-AqGA的各棱长均为2,NAAB=NAAO=60,ZDAB=90,UllUUUUABAAi=ADAAi=22cos60=2,AB-AD=O，ACi=AB+AD+AAy,而IAq=IADI=IAAIi=2,AC=AB2+AIf+AAi2+2A-AD+2ABAA,+2ADAAi=20f.C1=25.故选：B.3. B【分析】取5C的中点。，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.【详解】取BC的中点O,所以OG=OA+AG=OA+gAO=OA+g(O-Q4
6、)=-0A+-0D=-0A+-(0B+0C=-0A+-0B+-0Cf33332、7333又OG=xOA+yOB+zOC,可得x=y=z=；,所以x+y-z=g故选：B.4. D【分析】求出48的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可.【详解】由已知AB=(-2,2,1),又方=(Lo,1),aB-111-2+112则点A到平面a的距离为lt=V.nvl+12故选：D.5. ACD【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.【详解】对于A,若，则h%,所以%4=0,故A正确；对于B,若4La,则故B错误；对于C,若。,则勺色,UUU所以则使得=4%，故C正确；对于
7、D,若a,则J%,故D正确.故选：ACD.6. AB【分析】利用向量的坐标运算解决平行垂直问题，利用向量法求线面角的余弦值.【详解】ABCO是平行四边形，BC=D=(4,2,0),又AP=(T,2-1),由AP5C=-4+4=0,得AP_L6C，即Ap-LBC,A选项正确；APW=-2-2+4=0，AP_LAB，又AP_L8C，则4P是平面ABCQ的法向量，即APl平面ABCO,08在平面ABC。内射影为A8,PB=AB-AP=(3,-3,-3)ABPBBP与平面ABC。的夹角为NPB4,cosZPBA=-=项正确；APPB=-3-6+30不是平面PBC的法向量，C选项错误；3。=4)-AB=
8、(2,3.4),P=(-1,2-1),AP=2BD无解,AP不成立，D选项错误.故选：AB7. ABD【分析】利用基底的定义可判定A项，利用空间向量研究空间位置关系可判定B、C项，利用空间向量共面定理可判定D项.【详解】若向量,b,C是空间的一组基底，则4+匕，b+c，c+也是空间一组基底，故A正确；因为7=(3,1,-4)(2,-2,1)=6-2-4=0,所以故B正确；因为=0,所以,或u,因为不能确定直线/是否在平面内，故C错误；因为AP=(6,4,l)=2(3,TT)+3(0,2,3)=2AB+3AC,故D正确.故选：ABD.8. ABD【分析】A选项，证明A8,AO,PA两两垂直，建立
9、空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解；B选项，证明Bo_L平面PAC,故可取5婷=(-1JO)为平面PAC的法向量,利用线面角的向量求解公式进行求解；C选项，求出两平面的法向量，利用相关公式求出两平面夹角；D选项，利用点到平面的距离公式求出答案.【详解】A选项，因为PAj_平面ABC。，A8,AOu平面ABCQ,所以PAA-AD,又四边形ABCD为正方形，故A8,ARPA两两垂直，以A为坐标原点，AB,SAP所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系,则P(O,O,1),B(1,O,O),A(O,O,O),C(1,1,O),D(O,1,O),贝J*(l,0,T),AC=(IJO
10、),设直线PB与AC所成的角大小为。，则CoSe=CoS( P8,ACIPBAqKI,O,T)(1J0)pbacI+TiT-2故6=60。，A正确;B选项，因为四边形ABCQ为正方形，所以ACJ_80,又PA_L平面ABCQ,4。U平面ABCQ,故PAA.BD,因为ACCa4=A,AePAU平面PAC,所以80_L平面PACf故可取8。=(TjO)为平面PAC的法向量,设直线夕。与平面PAC所成的角大小为,I.PDBDJl + 1 X J1 + 12则sina=cos(PD,BD)=*n-I71pdbd故直线PO与平面PAC所成的角为30。，B正确;C选项，设平面08/)的法向量为 = (My
11、,z),nBD = (xt y,z)(-l,l,O) = -+y = O n-PD = (x, j,z)(0,l,-l) = y-z = 0平面的法向量为m=(0,1,0),1(0,吧).(g,1)1=Glwn*71+1+13故平面尸8。与平面PAA的夹角不为30。，C错误;D选项，由C选项知，平面尸皿)的法向量为=(UJ),n-CB(1,1,1).(0,-1,0)3故点C到面ATO的距离d=Lr=li_=亭，D正确.M33故选：ABD义卜另)【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解.【详解】由题意向量。=(TO,l),A=(-2,1,1),则在匕方向上的投影向量的坐标为M
12、CoSM%=,.输|方=芹)=言(-2,l,l)=W).故答案为：LTT).10. -733【分析】根据已知条件求得COS(A8/0,结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】因为A(2,T,D,B(l,-2,1),C(0,0,-l)所以AB=(TT0),BC=(T,2,-2)所以CoS(A仇8C) =AZTBC1-2&ABBC26,3所以点A到BC的距离J=Jl-COS2C=2故答案为:姮.311. -1【分析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60。，又E/=;AC,再根据数量积的定义求解.【详解】由题意可得ER=LAC,所以Er84=!AC8A=L2x2cosl20=T.222故答
13、案为：-1.【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点尸的轨迹方程，再代入两点间的距离公式,求线段长度的取值范围.【详解】以。为原点，以D4,DC,QA所在的直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则4(4,4,4),E(2,4,0),D1(0,0,4)设P(Ky,0)(0%4,0Wy4),则用=(4,4-y,4),的=(-2,T,4),又BFJ.QE,所以P4Eq=0,BP-2(4-x)-4(4-y)+44=0,则x+2y-4=0.当X=O时，y2,设尸(0,2,0),所以点P在底面ABCO内的轨迹为一条线段AR所以MPl=J(H?+(47)2+42=也8)，+32,0y2,当尸3时L=空，当尸2时，NPL=6,1251V6故答案为:
