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1、齐次化及推广应用(续)二、齐次化推广应用从上面的论述及典例可知齐次化技巧一般用于处理如下题型J如上图1,平面直角坐标系xy内，过二次曲线r(%,y)=O上的定点所作的直线lltl2的斜率分别为c1,c2,且与二次曲线的另一个交点分别为点E1F,则若3AtBtCER使得A-土1七+B(k+Ze2)+C=O恒成立，则直线EF过定点或斜率为定值(亦即定点为无穷远点)，且该定点为上述斜率关系引出的对合的中心。但是，齐次化思想也可以应用在一些另类的斜率关系题型，尽管可能不是最优解法,但也不输为一种不错的解法，下面就介绍一下有哪儿种题型1、齐次化诱导斜率关系【典例3】如图3所示，AfB为椭圆E:W+=l(
2、abO)的左、右顶点,焦距长为25,点P在椭圆E上，直线PAfPB的斜率之积为一；.(1)求椭圆E的方程；(2)已知。为坐标原点，点C(-2,2),直线PC交椭圆E于点M(M,P不重合)，直线BM,OC交于点G.求证：直线AP,AG$的斜率之积为定值，并求出该定值.图3解析：（1）9+V=（2）设直线Zcj4P=11，七M=卜2，则由题可知kBG=ABM=,BP=4化21一布，由几何关系可得（当-XG）+（XB-g）=2（%o-xg）1=AG=4峪-2利用过定点C,可设直线MP:m(x+2)+=1,对椭圆方程进行恒等变形：(x+2-2)24+I(x2)2=-+y2-(%+2)=O(+2)2=4
3、+y2-(x+2)m(x+2)+y2=O=Zc2k/2+(1/4n)=O(Zc=y/x+2)再看一个例子，其背景是对合诱导的圆哥定理【典例4】椭圆E:+y2b2=1(bO)的左焦点F(-2,0),点4为其左顶点。已知点F到椭圆上一动点P的距离的最大值为5。(1)求椭圆的标准方程。(2)定点T(-l,l),直线PT与椭圆E的另一个交点为点Q,直线l-.x=-4与X轴垂直。若记直线APtAQ与直线I的交点分别为点CtD,证明以CD为直径的圆过定点，并求出定点的坐标。解析：(D+=l(2)利用齐次化证明(fc1-l2)(fc2-1/2)=-31/36,设直线y=一：与直线I交于点K,则上式表明KCK
4、D=,若记O(CD)与y=-交于点M,N,则由圆哥定理可得CKDK=MKNK=MK2=NK2,从而过定点(一4f,mO2、齐次化多个交点推广【典例5】点AtBtC在双曲线F:x2a2-y2b2=l(,b0)上，设AABC的外接圆的圆心为点M,证明：kABkBCkCAkOM=-b2/a2o证明：设点B(XO,y0),MQS),OM半径为r。与通常的齐次化的方法的思想类似，拆出来(-%o(y-yo)以便于构造斜率。先对双曲线方程做代数变形(。+%。)2_。)22b2(X-XO)2(y-y0)22x02y0=-混京-=一/-)+p(y-y。)对圆的方程做代数变形(x-a-X0+)2+O-?o+yo)
5、2=/n-2(x0-)(%-)-2(y0-)(y-y0)=(X-)2+(y-7o)2接下来需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于(-0)y-y0)的三次齐次式，即得(%-x0)2a2-(y-y0)2b2(x0-)(%To)+Cy0-夕)0-%)=2x0a2(%-x0)+2yoZ)2(y-y0)(一)2+(7-yo)2将上式右侧移项至左侧，同时除以(X-X0)3,得到关于k=y-yQ/x-xQ的三次方程pk3+qk?+rk+s=U,这里k的三个解便是kAB,kCB,kDB。然后只需关注k的三次项系数和常数项，而p=,s=-3,由三次方程的韦达定rb2a2理Sab2b21Wc
6、b=-=-=-故原命题得证。【高次韦达定理】设一元n次方程anxn+n_1xn14Fa1x+0=Oan-l的根为XllX2f-nt则x1+x2+xn=Wxi=i=iXlXz-Xn=口阳=(T)噜1=13、齐次化斜率同构【典例6】点P为Eq+=l(bO)上的动点，以原点为心的。的半径等于1.已知点P到。上动点的最小离为1.(1)求椭圆E和。的标准方程；(2)过P点作。的两条切线，与E的另一个交点分别为点A1B,E在点AfB处的切线交于点Q.求证：当直线PQ,PO的斜率均存在时，等为定值.kPO分析：(1)+=1,Q0:x2+y2=1(2)设点P(%o,y),则kpA,kpB均满足同一个关于k的二次方程；设直线m(x-x0)+n(y-y0)=l，用它来齐次化椭圆的方程，同样也可以得到一个关于k的二次方程。上面得到的两个二次方程应该是同一个方程，对比系数可以解得mfn,然后利用一下极点极线的知识(先简单证明一下即可，即证明若点(2(xvy1),则直线AB:素+登=1)便可以得到点Q的坐标。本题的定值为,详解略。
