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1、7. 3.1离散型随机变量的均值素养目标定方向YZZ学习目标1 .通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，能计算简单离散型随机变量的均值.2 .理解离散型随机变量的均值的性质.3 .会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题.核心素养1 .通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象素养.2 .应用随机变量的均值解题，提升数学运算素养.必街知识探新知知识点1离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，如果离散型随机变量1的分布列如表所示：XXX2XnP6PiPn则称(心=M+*必+jw=Smr为随机变量才的均值或数学期望(简称为期/-1望).(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均
2、数，反映了随机变量取值的.平均水平.(3)性质：如果X和V都是随机变量，且y=aX+aO),则E(D=EQx+5)=+b_.想一想：离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？提示：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化.练一练：1 .若随机变量X的分布列为X-101P121613则(乃=(C).OB.-1C.D.b解析=（-1）+01=ZoJo2 .设0）=10,则（31+5）=35.解析（3才+5）=3E0）+5=310+5=35.知识点2两点分布的数学期望如果随机变量4服从两点分布，那么Ea）=P.练一练：某彩票3D游
3、戏（以下简称3D）,是以一个3位自然数（如：0记作000）为投注号码的彩票.投注者从000999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他获得奖金的期望是元.1999解析由题意，此人中奖的概率为丁丽，不中奖的概率为（款，1gag所以此人随机投注一次，他获得奖金的期望为：Io0XT丽+ox；加=1（元）关健能力攻重难题I型I探究题型一离散型随机变量的均值公式及性质典例1已知随机变量X的分布列如下：X-2-1012P14135m120(D求勿的值；求0)；若勺21一3,求6(D.解析(1)；+：+
4、：+疗占=1,解得/=：.4oZUO(2)(力=2-l+0+l+2r=一会.43562030若K=2J-3,E(Y)=2E(X)-3=-2-3=-oU10规律方法若给出的随机变量y与才的关系为J=aX+b(其中方为常数)，一般思路是先求出以力，再利用公式fGa+Q=aE0)+。求双D.lt对点训练(1)设随机变量力的分布列如下表，且Ea)=L6,则。一6=(C)0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4(2)已知随机变量X的分布列如表：X-101P1315m若f=a+3,且(9=5,则a的值为15.解析(1)由题意得a+6+0.1+0.1=1,即a+8=0.8.又0
5、X0.l+a+26+3X0.1=1.6,.a+2QL3.一，得6=0.5,.*.a=0.3,a-Z?=0.30.5=-0.2.117117(2)由随机变量分布列的性质，得W+w+m=l,解得力=(%=(DX+OXe+IX/35Io3OIo_2_=T?2因为E(f)=(aX+3)=aE(X)3=-a3=5,所以a=15.Io题型二求离散型随机变量的均值典例2某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，只要某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0
6、.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.解析1的取值分别为1,2,3,4./=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故尸(X=I)=0.6.才=2,表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(I=2)=(10.6)X0.7=0.28.才=3,表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故PCr=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X=A)=(1-0.6)X(1-0.7)(1-0.8)=0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以一的均值为EQ)=l
7、0.620.28+3X0.096+4X0.024=1.544.规律方法关于离散型随机变量的均值(1)如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算.(2) 一般地，先求出随机变量的分布列，再通过分布列计算随机变量的均值.1对点训练在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数f的均值.解析由题意得，f可能的取值为1,2,3,4,5,则P(J=I)=(，D4114311P(=2)=-=-tP(=3)=-=-,545543543211a=4)=-=-,x43211M=5)=-x-x
8、-x-xi=?故的分布列为12345P5155155由离散型随机变量的均值的定义知(C=Jx(l+2+34+5)=3.题型三均值的实际应用典例3(全国I卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图(如图)：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台
9、机器的同时购买的易损零件数.(1)求才的分布列；(2)若要求PCrW)20.5,确定的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在=19与=20之中选其一，应选用哪个？解析由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8,9,10,11,相应的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而*的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.?(=16)=0.2X0.2=0.04；/(=17)=2义0.2X0.4=0.16；AAr=18)=20.20.2+0.4X0.4=0.24；P(I=I9)=20.20.2+2X0.4X0.2=0.24；PCr=
10、20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2；PCr=21)=2X0.2X0.2=0.08；户(=22)=0.2X0.2=0.04.所以彳的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由知Pa=0.44,PcrWl9)=0.68,故的最小值为19.(3)记V表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当=19时，(D=19X200X0.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040.当=20时，MD=20200XO.88(20200500)0.08+(2020
11、0+2500)0.04=4080.可知当/2=19时所需费用的期望值小于当/7=20时所需费用的期望值，故应选/2=19.规律方法实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.IIlQ对点训练根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.0L该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失100OO元.为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙
12、只能防小洪水；方案3不采取措施.如果你是工地的领导，那么该如何决策呢？解析设方案1、方案2、方案3的总损失分别为力,居兄采用方案L无论有无洪水，都损失3800元.因此，=3800.采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.62000,有大洪水，因此2000,无大洪水.60000,有大洪水,采用方案3,有=10000,有小洪水，.0,无洪水.于是，(用)=3800,=62000X0.01+2000X0.99=2600,(%)=60000X0.0110000X0.25+0X0.74=3100.因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.易
13、I错1警示易错易混问题一一求分布列或均值时，随机变量的取值模糊致错典例4浙江卫视的中国好声音(TheVoiceofChina)节目是大型励志专业音乐评论节目.每期节目有四位导师参加，导师背对歌手，若参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数4321获得相应导师转身的选手人数1221现从这6位选手中随机抽取两人考察他们演唱完后导币的转身爷况.(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为求X的分布列及数学期望0).错解(D设6位选手中，才有4位导师为其转身，B,C有3位导师为其转身，D,E有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身.从6人中随机抽取两人有C=I5(种)情况，其中选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的有C+CC=3(种)，故所求概率为=10D(2)X的所有可能取值为4,5,6,7.P(X=4) =|； P(K5)=15 = 3;Per= 6)=cl+d-ci-=3_115 = 5;P(X=I) =函_ 2 =l?所以才的分布列如下:4567P15352T1
