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1、函数与导数(11)用+21. 2023-内蒙古呼和浩特二模已知函数A*)=(a+DlnrF+x.X(1)讨论F(x)的单调性；若函数g(x)=F+:证明：当a=0时，f(x)g(x).2. 2023山西太原三模已知函数f(x)=a-ex.(1)若函数Ax)的图象与直线y=-+l相切，求实数a的值；(2)若函数g(x)=f(x)+-l有且只有一个零点，求实数a的取值范围.3. 2023安徽蚌埠二中模拟预测已知函数f(x)=InX+f-ax,aR.(1)讨论函数F5)的单调性；若v(X1)=f(M)=0,且0小如证明：F(*)一/(均寸一2.4. 2023贵州模拟预测已知函数f(x)=alnx+-
2、(a+2)x(aR).(1)当GO时，讨论F(X)的单调性；(2)若函数f(x)在g,e(e为自然对数的底数)上有零点，求实数a的取值范围.5. 2023全国乙卷(理)已知函数Mx)=d+力In(l+x).X(1)当a=-1时，求曲线y=F(X)在点(1,F(I)处的切线方程；(2)是否存在a,b,使得曲线关于直线x=6对称？若存在，求a,力的值；若不存在，说明理由.(3)若F(X)在(0,+8)上存在极值，求a的取值范围.6. 2023安徽合肥一中模拟预测己知f(x)=2e-rsinx(1)求FCd在*0,7上的最小值；设(XCOSX-sinx)=e*0.5/一x1在x0,冗上有两个实根，求
3、必的取值范围.函数与导数(11)1 .解析：(1)由题意可得F(X)的定义域为(O,+),.a+1a+2x+(a+l)x(a+2)f,(at)=-+1=3XXX,-(一-2)(x-1)=当一&一2=1时，即a=3,F(X)在(0,+)单调递增.当一H-21时，即a0,F(X)单调递增；Xe(1,2)时，ft(x)0,F(X)单调递增；当0一君一21时,即一3a0,F(X)单调递增，XG(-a2,1)时，f(X)0,fQx)单调递增，当一a-2W0时，即422,(0,1)时，f,(x)0,()单调递增；综上可得：当水一3时，f(x)在(0,1)和(一4-2,+)上单调递增，在(1,一a-2)上单
4、调递减；当a=-3时，(a)在(0,+)上单调递增；当一3水一2时，,(a)在(0,-ci-2)和(1,+)上单调递增，在(一一2,1)上单调递减；当422时，fCy)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.2(2)证明：当a=0时，f()=lnx+-+x,X211要证f(.g(x),即证InX-I-一，XeX11V只需证lnx+-x,只需证xlnx+lZ-7,XeeV1X令G(X)=,则G,(x)=,eex(0,1)时，G,(B0,G(X)单调递增,x(1,)时，G(x)0,X(X)在(0,+8)上单调递增.又(9=配心HT=宁；存在b(2,),使得QxJ=0,即InXO+1+2H=
5、0；.x(,施)，(才)0,h,(彳)0,h,(x)0,h(x)单调递增；e宕bl,22h(*)nin=(b)=blnxol+xo=Ab(12o)+1+K=211令F(Q=-Eb+1,则6(x)在(F,-)上单调递减，ee:F87(9=4+b即一1 -a+1TT+1,(e 1) -220eee；一X；Abl即力(x)nin=G(x)max,(0,+)时，h(x)G(x)恒成立，f()g(X).2 .解析：(1)F(x)=2ax-e设切点为(的，f(加),f(Ab)旅+1IciX-e=Ab+1则，F(Ai)=-112a吊一e。=-1a=0时，显然不成立，.a0,消去&得(斯一2)(ex+1)=0
6、,.e/1Ab=2,cl.(2)令g(x)=0,即af+*1e*=0有且只有一个解,当X=O时，显然a/+*1/=0不成立，x0,eY1,令力(x)XT-1与力(x)=?有且只有一个交点,/、(er-1)-tlx(-xl)(X2)(e*+l).h(X)=1=3当x(-,0)时，h,(X)0,h(x)单调递增;当x(0,2)时，h,(a)0,hk单调递增,又当8时，h(x)-0,当-0时，h(x)f+8,e1当x=2时，h(2)=-,当l+8时，h(才)-*,如图所示,综上,a的取值范围是(0,3 .解析：(1)显然，函数/U)的定义域为(0,+8),且f(X)W+-=一一；叶1若刘=0,显然f
7、(x)单调递增.若水0,令() =0,有X=aya-4a,a-xa-4aa-才一4a易知一崂一。Ya，当才(0,L之一招时，F(幻o,f()单调递增;a当x)时,f八/单调递减若0o,F（X）单调递增；La当小（L底？山尹）时，尸f单调递减；aa当（纪芈Z士，+）时，fQ）0,F（X）单调递增.a综上所述，若水0,f（x）的增区间为（0,a-a= lnx-lnx2-a （2xl） -24a）,减区间为（匚g三+8）；4aq若0WaW4,f（X）的增区间为（O,+）;若a4,FJ）的增区间为（。，T三）,（邛三，+8）,Zaa甘心向*,a-ya-4aa+a24ax减区间为一）（2）证明：由（1）
8、知&4,且x+x2=l,X2-（xxf=,显然有=J-0,taayIaa所以力（0,-）时，gkt）单调递增，f（,才），gkt）单调递减，g（t）n=ln4lna2-2,故尸（M）-F（M）2.8方法二：由（1）知X+也=I,XlX2=一，F（Xl）F（*2）-t2a13=InM-In也+/a（小+也）（乂必）a（xi-2）一+2=InMIn麴ax】+2=lnxiIn(1Xi)-F2.I-Xi令g(x)=Inx-In(1*)7-2(0X-),Lx11(1x),+x(1-x)*12XXX(1r)2X(1x)2X(1x)，由 g (x) =InAIn (I-Ar)-20,1 1Y则力(x)=1=
9、XX当00,h(X)单调递增;当xl,h(x)0,h(x)单调递减；故力(x)W力(1)=0,即lnxx-L故尸(汨)f(2)12得证.bji,t.,x./、acz1c、2J(a+2)x+a(2x-a)-1)4.解析：(1)ft(外=+2-(a+2)=,XXX当00,当x(*1)时，f,(x)0,当XW(1,p时，ffQ)0,则函数F(X)在(1,上单调递减，在(0,1)和（I+）上单调递增.综上所述，当0水2时，函数fQx）在（5,1）上单调递减，在（0,-）和（1,+8）上单调递增;当a=2时，函数/（(x-Inx)当:WKl 时，-l0, 21nx0, g, (X) 0,所以尸 20,所
10、以g(x)在2，1)上单调递减，在1, e上单调递增. e1 1O -7 z、 e一2e e (e2)e l2eze (e-2) e 1 - e 1 , AJ- 1-e2e e-1 ,-+1Q (e2)所以 g(X)MX = g (e) =-, g(X)mln = g (1) = L所以实数的取值范围为T,TL.）在（0,+8）上单调递增;当a2时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，在(0,1)和碳+)上单调递增.(2)设力(X)=XInx,力(X)=I因为5e,令力(才)0,则XW(1,e,此时/(*)单调递增，力()在X=I时取最小值，故h(x)(1)=1,所以，此时lnx0,F(X)=aw-(a+2)X在e上有零点等价于方程a(xlnx)=x-2xe1t2x1甘，e上有根，即a=Yi在匕e上成立.ex-Inxe2C(2x2)(xlnx)(f2)(1-)91*X令g(X)=,因为g(X)=7=xlnx(X-InX)5.解析：（1）当a= -1时,()=(；-I)In (1),(x1)(x+22InX)则/(X)=-11(l+x)+g-j.-,所以f(1)=-ln2,又F(I)=0,所以所求切
