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1、函数与导数(12)1. 2023四川模拟预测已知函数F(X)=e,-ex+ax(l-Inx).若a=0时，过点(0,0)作曲线y=f(x)的切线/,求/的方程;(2)若函数f(x)在x=l处取极小值，求a的取值范围.2. 2023陕西汉台中学模拟预测己知函数F(X)=InX+：+仅bR).(1)求函数F(X)的极值；(2)若函数/6)的最小值为0,乂，用(小加)为函数/*)=?)一；的两个零点，证明:ex2-eln2.3. 2023河南郑州三模设函数U)=*2-*+mnx(a0).(1)求函数f(x)的单调区间;若4)存在两个极值点，证明：SX二丁)34. 2023山西运城模拟预测己知函数F(
2、X)=X-a(l或+1)+6在点(2,*2)处的切线方程为V=(3e2-l)X-Ae2.(1)求a、，的值；(2)若关于X的不等式f(x)2履恒成立，求实数k的取值范围.5. 2023江西南昌三模己知函数F(X)=e*TaX-Igo,aR).(1)当a=l时,判断F(X)的单调性；(2)若al时，设X是函数F(X)的零点，照为函数F(X)极值点，求证：汨一2照0.CinvJJ6. 2023全国甲卷(理)已知函数f(x)=ax-,x(0,).cosX2(1)当a=8时，讨论F(X)的单调性；(2)若F(X)0,f(X)=ex-an-e,f(1)=0,令g(x)=f(x)=er-alnxe,则g(
3、x)=e*当a0,g(x)在(O,)上单调递增，又g(l)=0,贝Ijx(0,1)时，g(x)0即F(x)0即F(X)0,F(X)单调递增,故/(x)在x=l时取得极小值，故庐0满足条件.当aO时，则g(x)=e*：在(O,+)上为增函数，又/(1)=e-at若a=e,g,(1)=0,当XE(0,1)时，g,(x)e,g(1)0,则存在Xo(1,a)使得g(Ab)=0,且x(O,Xo)时，g,()0,f(x)单调递增，x(1,施)时f(x)0,F(X)单调递减，此时x=l为F(X)的极大值点，不合题意.ae(x)若Oa0,限定01,故g(x)=e*e?=,于是当OK1且底色时，g,(才)0,g
4、(*)在(小，o)上单调递增，而g(1)=0,于是，Q(Xi,1)时，gQx)0,即f(x)0即f(X)0,f(X)单调递增，此时*=1为F(X)的极小值点，符合题意.综上所述：函数f(才)在x=l处取极小值时a的取值范围是(一8,e).2 .解析：(1)VfCx)=lnjv-(a0),:.f(x)=-=2dtXXXX若aWO时，则f(X)0恒成立，F(x)在(O,+)上单调递增，故F(X)没有极值；若GO,则当x(O,a)时，f(x)0,F(X)单调递增，(x)有极小值，极小值为F(a)=Ina+6+1,无极大值.(2)证明：由(1)可知，当a0时，/(*)有最小值，/O)/n=lna+b+
5、l,由函数F(x)的最小值为0,得lna+b+l=O,由题知g(x)=F(X)-=lnA+b-,/=ln+2+Z-1=-ln20,g(ea)=l+lna+，+b=，一0,g(4a)=In4+lna+J+8一=ln4一,0,QZZ4/4eWx2eMeln(a0),Y令h(x)=w-111?则力=e(e”p令夕（x）=eej-则夕（才）在（O,）上单调递增,又dO=0,在(0,上p(x)0,h,(x)n在（%+8）上，p（X）0,h,（x）0,h（彳）单调递增,e1e”-eln=e-eln=eeln2e2,ze/.e%2-el112得证.r2I3 .解析：(1)F(X)的定义域为(0,o),f(x
6、)=2a,-1-令2Vx+a=O,当Zl=I8aW0时，BPa,f(x)20,F(X)在(O,+)上递增,O当Zl=I-8a0时，即00时解得0匕正或Xw,所以函数在（0,),（止q三药，+8）上单调递增,当F （X） 0时解得l-l-8az yl+l8aj,K31,所以函数f（x）在（1十年呵上单调递减.综上，当a时，函数的单调增区间为（0,+8）；当0水：时，函数的单调增区间为OO(0,m, （1尸，+8）,单调减区间为（1 -41 8a 1 +1 8a（2）由可知，F（X）存在两个极值点如即0)(Xi-尼)+a(InXI-Ina)X-21 , InXl- In 照j+z.2X-2zl、,
7、lln-ln2-2)-1+ciX-X2(Xi)-F(生)一Iaqtir11InM-Ina、，1要证“a,成立，只需证一5+aV&3-5日 1十 InXl- In 及、，即证4,小一生l,lnx-111v2即证,-,X-X2X-X2BPiiEInxilnx22(-1)V1X2设XiaO,即证In-,范+1Xz令t=-1,即证Inr;丫工)，Xlci1设hQt)=InL2(：J),h(t)=;Jl),O,力(力在(1,+)上递增,wIXCcIAz方(1)=0,所以Ma*4成立,即I击二,也)4af4.解析：(1)因为f(x)=Xea(111-ln2l)+6,则f,(x)=(1)ev-X所以ff(2
8、)=3e2=3e2-1,解得a=2,V所以F(x)=xe2(ln-l)+6,所以F(2)=2-2+6,由切线方程可知F(2)=2(3e2-l)-4e2=2e2-2,所以2e*2+b=2e?-2,解得力=0.XX(2)由(1)知F(X)=xe2(lnl)(x0),所以xe2(lnl)所以e4-ln-(x0)恒成立，X2X2x2即Aex-In-ni11(tO),X2X令g(X)=其中x0,所以，(x)=ex-()lnZez21nXV9令力（x）=e21n,其中x0,所以力（x）=（f+2x）e,因为x0,所以方（X）0,所以方（X）在区间（O,+）上单调递增,又力（1）=eln40,/（S=乎-l
9、nl60,所以存在xo（；,1）,使得力（XD）=0,即京e%+21磋=0.当x（O,o）时，h（X）0,g,（才）0,g,（X）0,函数g（x）单调递增，2x2所以g（x）IIin=g（刖）=exIrr,qZJfb由尤e*o+21nf=0,得加/。+马*=。,乙Xa22In-L2即bex=-In-,即bex=eoln-.XqXoXo令(x)=xef其中x0,所以夕,(X)=(x+l)e0,所以0(X)在区间(0,+)上单调递增，由xoe。=。焉1112,得夕(Xo)=/In-),所以M=In2,AbXq)Xo所以屋。=2,In。=一与，XoZ当x(Ina,o)时，h,(x)0,则f,(x)在
10、(Ina,o)为增函数;VA(Ina)o,h(x)-o,所以存在x(Ina,+8),使得/(用)=0,即OAb-M-I=O,所以a=JVb所以f(x)在(0,施)上单调递减，f(x)在(XO,+)上单调递增，V/(x0)CF(O)=0,当x-+8,F(X)-,所以F(X)在区间(施，+)必存在一个零点令x=2xo,则：/(2zo)=e2x-a(2o)2xo1乙= q2xqevo-12 Ab(2o) -2xo-l=e2x0-2ex0 -1设g(x)=ex-2xex-l(x0),则/(Ar)=2e-2(jH-1)ex=2ex(eAx1),由(1)知，g(X)0,所以g(x)在(0,+)为增函数，g(X)g(0)=0,所以F(2加)=e2x0-2ex-10,根据零点存在判定定理可知x2o,即x-2o0；当r(2,+)时，h(r)0, F(X)单调递增;当Areeif(*)0,F(X)单调递减.(x)在区间(0,S匕单调递增，在区间(；，上单调递减.SinX(2)令g(x)=*(x)-sin2*=a*1sin2x,cosX则g,(X)=cos*x3sin2Arcos2xcosx2cos2x=acos%+3sin2*cosx4cosj+2=a-一2+3当W3时,g (幻0,:g (x)在(0，上单调递减,又 g(0) =0,当 X 0I时，g (x) 0,即 f (x) sin2x
