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1、一.椭圆及其标准方程1 .椭圆的定义：平面内与两定点F”F2等于常数2（恒行|）的点的轨迹叫做椭圆，符号表示：这里两个定点件，F?叫椭圆的,两焦点间的距离叫椭圆的（20=局时为线段KB，勿/?0)aD+=lUZ,O)a图形范围-aXa且-bWyWbbXb且-aya顶点Ai(a,O),A2(a,O)B1(O,-b),B2(O,b)Ai(O,a),A2(O,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长=2b,长轴长=2a焦点F1(-c,O)F2(c,O)F1(O,-c)F2(O,c)焦距F172=2c对称性对称轴：X轴、y轴对称中心：坐标原点离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比空，即称为椭圆的离心
2、率,e=0是圆；e越接近于2aaO（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意：在两种标准方程中，总有abO,并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示：r+Z=1或者mx2+ny2=l（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点1焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e,0ebO)准线方程：ab-c焦点在y轴上：4=（abO）准线方程：丫=式a1h2c小结：根本元素（1）根本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形(2)根本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3)根本线：对称轴(共两条线)5 .椭圆的内外部点尸,%)在椭圆。/g)的内部力+和.点P(X0,%
3、)在椭圆/+2=13力0)的外部05+会1.6 .几何性质(1)最大角(N耳程端=N6B2E,(2)最大距离,最小距离例题讲解:一.椭圆定义:1.22椭圆工+225 16=1上的一点P,A. 2 B. 3 C. 5到椭圆一个焦点的距离为3,那么P到另一焦点距离为(D. 72.中心在原点，焦点在X轴上，长轴长为4,短轴长为2,那么椭圆方程是() T+T = , b f+1 c T+/ = ,D+? = 3.与椭圆92+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4石的椭圆方程是()4.椭圆5/一心,2=5的一个焦点是(o,2),那么女等于()A.-1B.1C.5D.-5二.待定系数法求椭圆标准方程(利用几
4、何性质)1 .假设椭圆经过点(-4,0),(0,-3),那么该椭圆的标准方程为。2 .焦点在坐标轴上，且储=13,c?=12的椭圆的标准方程为3 .焦点在X轴上，:力=2:1,C=新椭圆的标准方程为4 .三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0),求以6、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；5 .求适合以下条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长为20,离心率等于；(2)长轴长是短轴长的的2倍，且过点(2,-60)6 .椭圆的一个顶点为4(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.7 .椭圆工+=1的离心率e=求Z的值.A+8928 .椭圆两焦点为耳(-4,0),巴(4,0),P在
5、椭圆上，假设耳用的面积的最大值为12,那么椭圆方程为()A.兰+片=1B.E+回=1C,工+片=1D.工+2LI1692592516254(提示:利用椭圆的几何性质求标准方程通常用待定系数法)9.椭圆的两个焦点是(一1,0),(l,0),夕为椭圆上一点，且IA网是I依1与IQ矶的等差中项，那么该椭圆方程是()。A+i=8=+亡=1C4-yi=+亡=11691612433410 .椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=2,短轴长为8后，求椭圆的方程。311 .求与椭圆4/+9产=36共焦点，且过点(3,-2)的椭圆方程。三.焦点三角形1.椭圆三+=1的焦点为耳、居，AB是椭圆过焦点6的弦，那么A8居的
6、周长是。925-2.设F,F2为椭圆16/+25/=400的焦点，P为椭圆上的任一点，那么的周长是多少？APFlF2的面积的最大值是多少？223.设点P是椭圆|+福=1上的一点，月,K是焦点，假设4是直角，那么MP%的面积为。变式：椭圆9+16y2=44,焦点为居、F2,P是椭圆上一点.假设N片尸产2=&)，求APEiB的面积.四.离心率的有关问题1.椭圆工+E=I的离心率为那么2=4m22 .从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为120,那么此椭圆的离心率6为.3 .椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，那么椭圆的离心率为4 .设椭圆的两个焦点分别为冗、氐过后作椭圆长轴的垂线交椭圆于
7、点R假设月行为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5 .在AABC中，NA=30,A3=2,Smbc=K.假设以43为焦点的椭圆经过点C,那么该椭圆的离心率e=.五.直线与椭圆的位置关系1.椭圆4x2+y2=l及直线y=x+m(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围。(2)求被椭圆截得的最长弦的长度。2.椭圆C的中心为坐标原点0,一个长轴端点为(0,1)短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线1与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且=3.(1)求椭圆方程。(2)求In的取值范围。最值问题：1.椭圆1+y2=两焦点为艮、F2,点P在椭圆上，那么IpfJ-PF2I的最大值为
8、，4最小值为r2v22、椭圆全+巳=1两焦点为K、F2,A(3,1)点P在椭圆上，那么P%+PA的最大值为，最小值为一23、椭圆+F=,a(1,0),P为椭圆上任意一点，求IPAl的最大值最小值。4.设F是椭圆晓+亡口的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内，在椭圆上求一点P使3224PA+2PF最小,求P点坐标最小值.课后练习lF(-8,0)fF2(8,0),动点P满足IPFlI+PF2=I6,那么点P的轨迹为()B椭圆C线段D直线2、椭圆卷-卷=1左右焦点为Fi、F2,CD为过FI的弦，那么ACDFi的周长为223方程三+J=I表示椭圆，那么k的取值范围是()1+KL-KA-lk0Ck0。心1或
9、1b0)的左右焦点分别是FkF2,过点F1作X轴的垂线交椭圆于P点。假设NFlPF2=60。，那么椭圆的离心率为7、正方形ABCD,那么以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为椭圆方程为8椭圆的方程为:+q=1,P点是椭圆上的点且NK尸鸟=60。,求AP6鸟的面积9.假设椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为FJ那么满足BF为等边三角形的椭圆的离心率为10椭圆工+=1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是1003611.椭圆。+=l(5)的两个焦点为耳、尸2，且内闾=8,弦AB过点尸一那么尸2的周长2212.在椭圆器+卷=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的
10、距离的两倍13、中心在原点、长轴颗轴的两倍,一条准线方程为x=4,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,那么椭圆的离心率6二.15、椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,准线方程为y=18,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,那么椭圆方程为16.P是椭圆9/+25/=900上的点,假设P到椭圆右准线的距离为8.5,那么P到左焦点的距离为17.椭圆+髭=1内有两点4（2,2）,（3,0）,P为椭圆上一点，假设使附+皇盟最小，那么最小值为18,椭圆+-=1与椭圆+=（O）有3223（八）相等的焦距（B）相同的离心率（C）相同的准线（D）以上都不对19、椭圆M+=与工+
11、=10kl）eD的点的轨迹标准方程22方=ILo)Z-i=1(ao,o)图形性质范围xalx-a,yRXWR,yasS(tyl,其中C=Jaa准线2准线方程是=C2准线方程是y=2C2、共渐近线的双曲线系方程：与-4=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为I-abaA=ZlqWO),假设几0,那么双曲线的焦点在轴上；假设40,那么双曲线的焦点在轴上。突破点一双曲线的标准方程及性质利用双曲线的性质求标准方程时，最常见的方法是待定系数法，及根据焦点的位置设出双曲线的标准方程，利用条件得出水力2,从而得到标准方程。焦点位置不确定时，可设mx2+ny2=l(mn0)考点一双曲线的定义在运用双曲线的定义时，
12、应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的一支。例1.平面内有两个定点(-5f0)和6(5,0),动点户满足条件I所I-I根I=6,那么动点P的轨迹方程是)。例2.动圆M与圆Ci：(x+4)2+y2=2外切，与圆Cz：(-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。变式1.一个动圆与两个圆A2+/=I和A2+/-8x+12=0都外切，那么动圆圆心的轨迹是圆切椭圆(。双曲线的一支(0抛物线变式2.Fi、F2为双曲线C:x2-y2=l的左右焦点，点P在C上,在限=60。,那么IPFlIPFJ等于(A、2C、6B、4D、82 .双曲.一 二1与.二A始终有相同的用焦点准线0渐近线离心率3 .直线y= x+3与双曲线二1的交点的个数是0个1个2个03个4.双曲线K-4二1的焦点坐标是)R0),(-0)(,0),(-0)0
