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1、在工程力学中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时,通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图像表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前,绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的人来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用选取特殊点代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图一特殊截面的剪力值、弯矩值一剪力图（直角坐标系）一弯矩图（直角坐标系），
2、具体事宜与载荷种类不同有关。集中载荷例如，图1（a）所示的简支梁AB在C点处作用集中载荷F,画出此梁的剪力、弯矩图。首先，求约束反力。画受力图，如图1（a）求支座约束力。FA=F%，FB=F%再画剪力图，如图l（b）,某截面上的剪力即为其截面左（右）段梁上外力的代数和，左上、右下为正，左下、右上为负。AC、CB段均无载荷作用，剪力图均为水平线。靠近A端的I截面的剪力：Fi%靠近B端的2截面的剪力:在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。最后，画弯矩图，如图1(c)。某截面上的弯矩即为其截面左(右)段梁上外力矩的代数和，左顺、右逆为正，左逆、右顺为负。AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定
3、A、B、C三点临近截面的弯矩值Ma=FaO=QM3=FO=OMC=FAa=Fb%在弯矩图坐标中描出A、B、C三点坐标，分别作出AC、CB段的斜直线。均布载荷例如，图2(a)所示的简支梁AB在C点处作用均布载荷q,画出此梁的剪力、弯矩图。图2均布载荷作用梁首先，画受力图，如图2(a)。由平衡方程得Fb=%再画剪力图，如图(2b)。靠近A点截面上的剪力:靠近B点截面上的剪力：在剪力图坐标中描出A、B两点，作这两点的连线得剪力图。最后，画弯矩图，如图2(c)。均布载荷方向向下，弯矩图的形状是抛物线开口向下的抛物线；均布载荷方向向上，弯矩图的形状是抛物线开口向上的抛物线，确定几个特殊点即可画出弯矩图的
4、形状。靠近A点截面上的弯矩：=O=O靠近B点截面上的弯矩：M2=F3-O=O从剪力图中可得剪力为零的点，即为弯矩值最大的点Ma电=根据上述三点，画出均布载荷的弯矩图。力偶作用例如，图3(a)所示的简支梁AB,在C点处作用集中力偶MO,试画此梁的剪力、弯矩图。AXM,tbl(b)ITnTrTT,Y(C)图3力偶作用梁首先，画受力图，如图3(b)。有平衡方程得再画剪力图，如图3（c）。AC、CB段无载荷作用，剪力图均为水平线。靠近A端的1截面的剪力：%=FaM/靠近B端的2截面的剪力：FS=F=一址在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。最后，画弯矩图。AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定
5、A、C-、C+、B点临近截面的弯矩值（C-表示在C点左侧临近截面；C+表示C点右侧临近截面）。在弯矩图坐标中描出A、C-、C+、B四点，分别作出AC-、C+B段的斜直线。结语从以上例题中，我们总结出画剪力图和弯矩图的简便方法如下。无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。曲线凹向与均布载荷同向，在剪力等于零的截面，曲线有极值。集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图有折点。集中力偶作用处，剪力图不变；弯矩图突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小，突变的方向，集中力偶顺时针向坐标正向突变
6、，反之向坐标负向突变。尽管用剪力、弯矩方程能够画出剪力、弯矩图，但应用选取特殊点的简便方法绘制剪力、弯矩图，会更加简捷方便。参考文献：1刘鸿文.材料力学（4版）M.北京：高等教育出版社,2004.2单辉祖.材料力学（2版）M.北京:高等教育出版社，2002.3西南交通大学应用力学与工程系.工程力学教程（第1版）M.北京:高等教育出版社,2004.4王玉杰.巧画内力图UL机械工程与自动化，2006（2）:6769.5李杰.材料力学内力图教学的创新实践J.邢台职业技术学院学报,2006（1）:4648.6J任树棠.机械工程力学（4版）M北京：机械工业出版社，2004.7关玉琴，王瑞清.工程力学（4
7、版）M.北京：内蒙古大学出版社,2009.材料力学剪力图与弯矩图的简易绘制方法摘要：本文以剪力、弯矩和分布荷载集度之间的微分关系为基础，求出支座反力后可快速绘制剪力图，根据剪力图的正负和剪力图面积来绘制弯矩图。对于基础普遍较差的三本院校学生来讲，较易掌握。关键词：微分关系；剪力图；弯矩图；剪力图正负与面积材料力学中弯曲变形是四种基本变形之一，剪力和弯矩为弯曲变形的内力。剪力图和弯矩图的绘制，可以很方便的看到梁各个横截面上的剪力弯矩数值大小和正负，从而确定出梁的危险截面，为后面的正应力强度校核和切应力强度校核做准备。一般教材中介绍的剪力图弯矩图的绘制有两种做法。第一种是先列出剪力方程和弯矩方程，
8、根据方程作图。很显然，如果梁上受到荷载种类较多时，剪力方程和弯矩方程需分很多段来列，非常复杂，因此这种做法用的较少。第二种方法是基于剪力、弯矩和荷载之间的微分关系来绘制。这种方法通常是在梁上取若干控制截面，直接由外力计算出控制截面上的剪力值和弯矩值，再根据微分关系确定两控制截面之间的剪力图和弯矩图的连线。这种方法较第一种简便，对于一些成绩好的同学也可以掌握。但是，如果梁上外荷载较多，所选取控制截面也会较多，计算较为复杂。此外，对于有一些基础较差的同学，由外力计算剪力弯矩值掌握较吃力。故本文在剪力、弯矩和荷载集度微分关系的基础上提出一种剪力图、弯矩图的简易绘制方法，供广大读者参考。一、绘制依据1
9、.剪力与荷载集度之间的关系dFs（x）dx=q（X）。由该式可得，dFs（x）=q（x）dx。即某段梁上剪力的增量，等于荷载图的面积。2.弯矩与剪力之间的关系dM（x）dx=Fs（x）由该式可得，dM（x）=Fs（x）dx。即某段梁上弯矩的增量，等于剪力图的面积,二、绘制方法（一）求解支座反力由静力学平衡方程求出支座反力，不再赘述。（二）剪力图绘制从左到右绘制剪力图：剪力初始值为零。若梁上有向上（下）集中力（含支座反力）作用，则剪力图向上（下）突变，突变值等于集中力的大小。若梁上有向上（下）均布荷载作用，则该段梁上剪力图为斜向上（下）的直线，剪力的增量为该段梁上分布荷载的面积。若梁上有集中力偶
10、（含支座反力）作用，剪力图没有变化,若梁上无荷载，则剪力图为水平直线。检查梁末端截面的剪力值是否归于零。如不是零，则说明中间过程有误，需检查修改。（三）弯矩图绘制综合荷载图和剪力图，从左到右绘制弯矩图。弯矩初始值为零。从左到右，若梁上有集中力偶（含支座反力）作用，则弯矩图有突变。突变值等于集中力偶大小。若集中力偶顺时针，则弯矩图往正向即向下突变；反之，若集中力偶逆时针，则弯矩图往负向即向上突变。若梁上有向上（下）均布荷载作用，则弯矩图为向上（下）凸的抛物线。该段梁上弯矩的增量为对应梁段剪力图的面积。若剪力图为正，则弯矩增量为正；若剪力图为负，则弯矩增量为负。若梁上无荷载，则弯矩图为斜直线。该段
11、梁上弯矩的增量为对应梁段剪力图的面积。若剪力图为正，则弯矩增量为正，弯矩图为斜向下直线；若剪力图为负，则弯矩增量为负，弯矩图为斜向上的直线。若梁上有集中荷载，则弯矩图在集中荷载作用处有尖角。检查梁末端的弯矩值是否归于零。如不是零，则说明中间过程有误，需检查修改。三、举例图中所示具有中间较C的静定梁，试绘制剪力图和弯矩图。（一）由静力学平衡方程求解支座反力得FAX=OFAy=81kNFBy=29kNMA=96.5kNm（二）绘制剪力图从左到右绘制剪力图，剪力初始值为零；A截面有向上的集中力FAy(支座反力),故剪力图向上突变,突变值等于FAy等于81kN,突变后剪力变为8lkN；从A右截面至E左
12、截面梁上无荷载作用，故剪力图为水平直线；E截面有向下的集中力F=50kN,故剪力图向下突变，突变值等于F等于50kN,突变后剪力值变为3lkN；E右截面至D左截面梁上无荷载作用，故剪力图为水平直线；D截面至K截面梁上为向下的均布荷载，故剪力图为向下倾斜的直线，该段梁上剪力值的增量为荷载图面积，BP-203=-60kN,故K截面的剪力值为31+(-60)=-29kN;K右截面至B左截面梁上无荷载，故剪力图为水平直线；B截面有逆时针的集中力偶，但不影响剪力图，故剪力图无变化；另外B截面处还有向上的集中力FBy(支座反力)，故剪力图向上突变，突变值等于FBy等于29kN；最终剪力图回到零点。（三）绘
13、制弯矩图从左向右绘制弯矩图，弯矩初始值为零。A截面有逆时针集中力偶MA(支座反力)，由前文所述规律，弯矩图往负向即向上突变，且突变值等于集中力偶等于965kNm突变后，弯矩值变为了-96.5kNm.A右截面至E左截面，梁上无荷载作用，弯矩图为斜直线。由于该段梁上剪力图为正，故弯矩值逐渐增加，即弯矩图为斜向下直线。弯矩的增量为剪力图的面积，即81l=81kNm,至E左截面，弯矩值变为-96.5+81=-15.5kNmE截面有集中力作用，弯矩图会有尖角(弯矩图绘制完成后可看到)。E右截面至D左截面，梁上无荷载作用，弯矩图为斜直线。且该段梁上剪力图为正，故弯矩值逐渐增加，即弯矩图为斜向下直线。弯矩的
14、增量为剪力图的面积，即31xL5=465kNm,至D左截面，弯矩值变为-15.5+46.5=3IkNm,D截面至K截面，梁上有向下的均布荷载作用，弯矩图为向下凸的抛物线。且由剪力图可看到，在距离K点1.45m的H点处剪力为零，则该点处弯矩有极值。D右至H段梁弯矩增量为剪力图面积，即31xl.552=24kNm,故H截面弯矩值为31+24=55kNmHK段梁弯矩值增量为-29xl.452=-21kNm,故K截面弯矩值为55+(-21)=34kNmK右截面至B左截面，梁上无荷载作用，剪力图为负，故弯矩图为斜向上直线。弯矩增量为-29xl=29kNm,则B左截面弯矩值为34+(-29)=5kNmB截
15、面处有逆时针集中力偶Me,则弯矩图往负向即向上突变。突变值等于集中力偶大小等于5kNm,突变后，弯矩值归于零，可认为弯矩图绘制正确。对于本题来讲，有中间较C,画完弯矩图后需检查在此处弯矩值为零。四、总结本文提出的方法以弯矩、剪力与荷载集度微分关系为基础，求出梁的支座反力以后无需进行繁琐的剪力方程、弯矩方程计算，也无需依外力计算各控制截面剪力弯矩数值，而通过计算简单的几何图形面积辅以基本规律就可绘制剪力弯矩图。作者认为,该种方法简易方便，对基础较差的三本学生较易掌握，对基础好的学生则可以帮助其快速准确的绘制剪力弯矩图。参考文献：孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学(I)M.北京:高等教育出版社，2009.
