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1、第八周作业答案1 .已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统y(h)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域;(b)求此系统的单位抽样响应；(C)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。分析：x(n)X(z),h(n)/Z(z),y(n)cY(z)则H(Z)=Y(z)/X(z)=Z（三）,要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统(不一定稳定)，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统(不一定因果)。解：(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：Y(z)=ZTy
2、(Z)+z-2Y(z)+ZTX(z)所以“(z)=也=1.62是其收敛区域。零极点图略。(6)因为H(z)=(z-)(z-2)%-z-/z-a2所以h(n)=(111-a2n)u(n)“一2式中6f=1.62,a2=-0.62由于H(Z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。(C)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选H(Z)的收敛区域为2za1,即0.62z=0_则有h(n)=-(au(-n-1)+a2nw(n)。2一4=-0.447(1.62)”u(-n-1)+(-0.62)rt()从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。2.研究一个输入为x5)和输出为y(n)的时域线性
3、离散移不变系统，已知它满足y(n-O-X)+y(n+1)=x(w)并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出H(z)=Y(z)/X(z)然后和题I(C)一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：ZTy(Z)-Y(z)+zY(z)=X(z)贝U:H(Z)=也X(Z)1=io-Z+Z3_z(z-3)(z-)极点为z1=3,z7=3为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取l3z)e-5分=0=5分或利用Z变换X(Z)=5分一-ZTX(ej)=5分-e-a+je-j2.有一调幅信号儿=1+cos(2;TXIoof)cos(2zrx600r),用D
4、FT做频谱分析,要求能分辨信号的所有频率分量，问：(1)抽样频率应为多少赫兹？(2)抽样时间间隔应为多少秒？xa(t)=cos(2r600/)+cos(2r100r)cos(2X600r)答：114分=cos(26(X)r)+-cos(2乃X500/)+cos(2;TX7001)221 1)fs2ff1=400Hz3分2 2)T=-i-5=0.714三3分14003 .判断y5)=M)sin(笥+擀)是否是线性移不变系统。答：yi()=X1()sin(+，)，y2ri)=x2(n)sin(+y)zj/、/,/2万Tc.z/2兀c、ayl()+by2(n)=axx()sin(+亍)+bx2()s
5、m(-n+)Tax()+bx2(n)=axi()+bx2(n)sin(-wy)Tax(/?)+bx2(n)=ayi()+by2(ri)系统是线性系统。Tx(n-ri)=x(n-w)sin(+1)/Zr2乃/、1yn一根)=x(n-w)sinl(-m)+)Tx(n-/?)y(n-tri)系统不是移不变系统。4 .判断序列X（三）=6一W是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期。答：o=0.4;T3分二二5为有理数，是周期序列4分O周期长度为N=53分三、计算题：每题20分，共40分已知xl(n) = u(n),x2(n)=at,u(n)f|12分I-ZX2(z)=-rIzl2分2l-az-lI
6、1x(n)=xl(n)*x2(n)X(Z)=X1(Z)X2(Z)1(l-z-Xl-az-1)z14分1-a、AI42x(z)=；=r+;I-Z-azAI=ReSX(z)L=11ClZA2=Re5X(z)=-1_-a1-l-aX(Z)=l-09u(m)0n-n0,(-M0.,.0几,且0时，x()0x(n)=x1(11)*x2（三）=Za/W=O=w=0-m-(n+l)1+1-CL-a0,n0n0-an+ll-u(11)-a817rt+1X(Z)=Z-u(n)zn=”11-aIlaI一言(1-l-al-z,(I-ZT)(I-B)a极点Zl=I,Z2=a因为412.设某线性移不变离散系统的差分方程为y(-l)-yy(n)+y(n+1)=x(n)求此系统的单位抽样响应并判断系统的因果性、稳定性。答：系统函数H(Z)=X(Z),|io-=FZ-+Z(z-3)(z-)3H(z)=-(O极点Zl=-,3对应收敛域：Z2=32分2分2分2分2分2分(I)IZI3时，系统因果不稳定h(n)=-3n-3nu(n)8(2)gH3时，系统非因果稳定h(n)=-3u(-n-1)+3()8(3)忖g时，系统非因果不稳定(11)=-3h-3-,w(-i-1)8
