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1、第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值一.基本结论：设P(%,%)为椭圆1+=l(80)上的定点，A3是椭圆上一条动ab弦，直线A8,PAP8的斜率分别为上匕,&；(D若Z/,=与，则有.%。OM=-%，aj 2(2)若 kz ,则直线A3过定点,(3)若勺+&=0,则有v00次=,Co(4)若勺+玲。0,则直线A3过定点.证明：设A。,%),8(9,必)，直线AB的方程为y=&x+相，则，产+：=(b kpA+kpB=t = 4+ = r-+ -=t =+k2a2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,b-+ay-Crb-=0A一，2八2，,22、八Ikma 4xL=y 修 XX =
2、P 二+加一叱 3+m-b .Xi X2X1X2(k2 - t)xx2 + k(m- b)(xl +x2) + (m-b)2 = 0z,2, a2(nr -b2) , z , -2a2hn /,、，八=(% -0- + k(fn-b)r- + (m-b)-=0 a-k + b-Crk- +b-等式两边同除以(加一切，化简得(代-t)c2(jn + b)-2a2k2m + Qn-b)crk2 Zj2) = O + CTt= erIcm + crk2b - crmt - a2bt - 2a2k2m + a2k2m+b2n -a2k2b-tr, = O = ？ = , b- -a-t所以直线A8过定
3、点0,/_、,V. -b V, -Z? kx, +m-b kx. +m-ba2(n2-Z?2)=4Z(Jcer+b-m2)0,x1+x,=-7-,xix2=r-5-5-,ka-+b-ka-b-2%+口-蚁N+/)=/=z=x1x22b2bf_2h9,=二7所以直线A8过定点(-b).Iy=-匕t(3)设1($,%),F(X2,必)，直线A石的方程为y=2(x-XO)+%,直线A尸的方程为yk(x-x0)+y0y=-k(x-x0).令m=%-左毛，联立方程/2,整理得F=1/护(k2a2+b2)x2+2a2ktwc+a2m2-a2b2=0,则g二片|一；？，解得=/J&同理邛等嘴亘J.Crk-b
4、(Crk+b)x0ak+h)x0则直线EF的斜率为=止入=24（.+N）二号&为定值.X2xix2-xa二.典例分析例1.（2022新高考1卷）.已知点42）在双曲线。:-上一=1（。1）上，直线/交C于aaP,。两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.（1）求/的斜率；（2）若tan7Q=2无，求aPAQ的面积.r2241解析：因为点A3）在双曲线C点一看T3D上所以/一二解得y = kx + m联立士 可得,即双曲线C:/-/=14mk 2m2 + 2易知直线/的斜率存在，设/：），=履+?，P（N,y）,Q（再,力）(i-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以,驾+工。.=162+4(
5、2zw2+2)(2公-l)0=-l+220,所以由阳+2卯=0可得,即(-i)kx2+zw-l)+(x22)(Ax+/W-1)=0,即2kXX2+(w-l-2)(x1+x2)-4(w-1)=0,所以8二+必一4+4好+ 1)=0,即_,2rn1+2/,_.A4mk、/nC.aa,zm2k%(I)-TTT-7-4(加T=0,化简得，4K1乙K1J(A+1)(2Al+z)=O,所以Z=1或/=1一23当他=1一24时，直线/:=+,=攵(工一2)+1过点A(2,l),与题意不符，舍去，故Z=T.(2)不妨设直线PAPA的倾斜角为(0,当4。均在双曲线左支时，ZPAQ=2a,所以tan2a=2,即应
6、t/a+tana一0=0,解得。=乎(负值舍去)此时以与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点，舍去；当44均在双曲线右支时，因为tanNPAQ=2无，所以tan-a)=22,即tan2=-20,即0加%-tan-7=0,解得tan=(负值舍去)，于是，直线期:y=0(x-2)+1,直线P3:y=-0(x-2)+1,x2+2(1-2)x+10-42=0,因为方程有一个根为2,所y=2(x-2)+l联立炉可得,y2=lrl10-42、42-5I=IIfflh坦10+42、,-42-5以/=-,yp=,同理可得，0=-,=-.33C33所以。：1+)C=O,IPQl=2，故aPAQ的面积为k竺X述
7、=吆旦.332339例2.(2020新高考卷)已知椭圆JW+=l(80)的离心率为乎，且过点A(2,l).(1)求。的方程：(2)点M,N在C上，且AM_LAN,ADLMNt。为垂足.证明：存在定点。，使得口。为定值.c_2T解析：(1)由题意可得:41i2+TT=解得：ci2=6,b2=c2=3,故椭圆方程为:crb-222ab-+cV.y211=1.(2)设点/(,yJ,N(x2,%),若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m,代入椭圆方程消去并整理得：(1+2k2)X2+4h7vc+2n-6=0,可得+x2=-7,xx-因为AMjLAV,所以AMAN=O,即1+2K-1+2
8、公(-2)(2-2)+(yl-l)(2-l)=0,根据v=Ax1+m,y2=kx2+m,代入整理可得：k2+1)XW+hn-k-i)xx+x2)+(-l)2+4=0,+ 4 = 0,整理化简得所以卜则筌言WT一2)卜哉卜(小)1I*fV1*V/(2Z+3m+D(2Z+相-I)=0,因为A(2,D不在直线MN上，所以2八m1/0,故2k+3w+l=0,k9于是MN的方程为y=k(x-弓)一；(攵1),3/3所以直线过定点直线过定点P23,3.当直线MN的斜率不存在时，可得N(,-yj,由AMAM=()得：(X-2)(玉一2)+(-1)(一乂-1)=0,得(玉2)?+1才=0,结合+=可得：3j-
9、8x+4=0,解得：X=;或之=2(舍).此时直线MN过点/(：,一；).令。为A尸的中点，即Q-,-,若。与P不重合，则由题设知AP是R忆AO尸的斜边，故dq=Lap=H,若Q与0重合，则0Q|=；|AP|,故存在点“与口，使得I232133J为定值.例3.(2017全国1卷)已知椭圆A%=1,四点E(Ll)M(OJ),小1当，Pj1,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程:(2)设直线/不经过点八且与椭圆交于AB两点，若直线与直线的斜率之和为-1,证明：/过定点.2解析：(1)由条件知耳不在椭圆上，易得椭圆方程为千+V=I.(2)当直线/的斜率不存在时，设.x=m,A(m,yA),B(m-
10、yA),kPA+kPB=1=-=-1得7=2,inmm此时直线/过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足.当直线I斜率存在时，设/:y=kx+m(m1),A(x1,凶),B(x2,y2)y=kx-vm因为v2=(1+4422+Skmx+4(m2-i)=0-+y2=l14所以 +x2Skm:一由54(/W2 -1)l + 4k2所以kPA+kpli=2l1+%7=/(烟+M-+%(履2+旭)-七C, 8k -1)=2k；4(m2-l)_. 2km= 2k +7 + 12kxyx2+(n-l)C+x2)中2又WWlnm=-2攵1,此时A=16(4A2+jzm2)=6R,存在A使得A0所以直线/的方程为y=kx-2k-y+=k(x-2)f/过定点(2,-1).
