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1、1 .写出以下随机试验的样本空间：(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解解(1)高该小班有n个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0,1,2,100,n解解01100n个人分数这和的可能取值为0,1,2,，100n,平均分数的可能取值为，,，那么nnn样本空间为kS=k=0,1,2,JOOnn(2)样本空间S=10,11,S中
2、含有可数无限多个样本点。(3)设1表示正品，0有示次品，那么样本空间为S=(0,0),(1,0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1)例如(1,1,0,0)表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。(4)设任取一点的坐标为(x,y),那么样本空间为22S(x,y)x+y12 .设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示以下事件。(1) A发生，B与C不发生；(2) A与B都发生，而C不发生；(3) A,B,
3、C中至少有一个发生；(4)A,B,C都发生；(5) A,B,C都不发生；(6) A,B,C中不多于一个发生；(7) A,B,C中不多于两个发生；(8) A,B,C中至少有两个发生。解解此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并&”不多解解于”表示“交”和“并”的联合运算。(1) ABCo(2) ABCAB-Co(3) AUBUCo(4ABCo(5)ABCo(6)A,B,C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即ABCUABCUABCUABC,A,B,C中不多于一个发生，也说明A,B,C中至少有两个发生，即ABUBCUACUABC。(7) A,B,C中不多于两
4、个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC而ABC表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=AUBUC。(8) A,B,C中至少有两个发生为A,B,C中仅有两个发生或都发生，即为ABCUABCUABCUABC也可以表示为ABBCACoUU第第3.3.1(11)、)、6、6、88、99、I(HO题题概率的定义概率的定义、概率的性质、概率的性质、古典概型、古典概型第第33.(11)、)、66、88、99、Iolo题题概率的定义概率的定义、概率的性质概率的性质、古典概型古典概型113.(1)设A,
5、B,C是三件，且P（八）=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=OF(AC)=,48求A,B,C至少有一个生的概率。解解利用概率的加法公式解解315P(AUBUC)=P（八）+P（八）+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=-=488其中由P(AB)=P(BC)=0,而ABCCAB得P(ABC)二O。6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。求(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率。解解利用组合法计数根本领件数。从10人中任取3人组合数为C3,即样本空间解解10S=C3=120个根本领件。(10)(1)令事件A
6、=最小号码为5)o最小号码为5,意味着其余号码是从6,7,8,9,10的5个号码中取出的，有C2种取法，故A=C2=10个根本领件，所求概率为555!C22!3!101P（八）=5=C310!12012103!7!(2)令事件B=最大号码为5),最大号码为5,其余两个号码是从1,2,3,4的4个号码22种取法，即B二C个根本领件，那么4(4)4!C22!2!61P(B)=4=C310!1202010中取出的，有C3!7!8.在1500个产品中有400个次品，1100个正品。从中任取200个。求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率。解解(1)利用组合法计数根本领件数。令事件A=
7、恰有90个次品,那么解解C90CllOP（八）=4001100C2001500=什合(2)利用概率的性质。令事件B=至少有2个次品,AI有i个次品,那么B=AUAUA,AiAi=WiWj)23200所求概率为200P(B)=P(AUAU-U,A)=EP（八）23200ii=2显然,这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。4事件B=恰有0个次品或恰有1个次品,即B=AUA,而01P(B)=P(AUA)=P(A)+P（八）=C200ClC199HOO+40011000101200200故C200PBPB1100()=1-()=1-200-CC15001500ClC1994001100200C150
8、0C15009.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解解令事件A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。用3种方法求P(A)。解解A的对立事件A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双,从5又鞋中任取4从10只鞋中任取4只,个根本领件,现考虑有所有可能组合数为C4只，即,样本空间S=C41010利于A的根本领件数。从5双鞋中任取4双,再从每双中任取一只，Wc44种取法，即5A=C4425个根本领件,那么PAPA()=1-()=1-4A4是不放回的44C254=1-C10只接452210只的取1321出，所有可,即样本空间S=A41010个根本领件。取，从其余8个
9、根本领件。现考虑有利于A的根本领件,从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取,于是依此类推，那么A=10X8X6X4P（八）=I-P（八）=1-108644=1-A1010864=1-1098721利用组合法计数根本领件数。考虑有利于事件A的根本领件数，任取的4只鞋配成13212双的取法有CCA=(CCC25种，能配成两双的取法有CC)种，于是5242个根本领件,那么P（八）=1CC5222213013C41021021此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质:P（八）+P（八）=I首先求P（八）,然后求P（八）o第3种方法是直接求P（八）o读者还可以用更
10、多方法求P（八）。10.在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解解令事件A=排列结果为ability),利用排列法计数根本领件数。不放回的从中一次抽1解解张的连抽7张，要排成单词，因此用排列法。样本空间=A7个根本领件。排列结果111为ability,实际收入字母b的卡片有两张，写字母i的卡片有两张，取b有C种取法，21 11取i有C种取法，其余字母都只有1种取法，故A=CC个根本领件,于是2 22I 1CC4P（八）=22=O0000024A7Ilx10x9x8x7x6x5II这是个小概率事件。第第1144(22)、)
11、、1515、1919、1818题题条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式、概率的加法公式和乘法公式第第114.4.1(22)、)、1155、1919、1818题题条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式1 1114. (2)P（八）=,P(BA)=,P(AB)=,求P(AUB)。432解解利用概率加法公式和概率乘法公式。解解P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)解此题的关键是求P(B)和P(AB)o由概率乘法公式，得111P(AB)=P（八）P(BA)=4312又P(AB)=P(B)P(AB),解得1P(AB)121P(B)=P(AB)162于是所求概率为I
12、lllP(AUB)=+-=46123此题的关键是利用P（八）P(BA)=P(B)P(AB),求出P(AB)和P(B),再求P(AUB)就迎刃而解了。15.掷两颗骰子，两颗骰子点数和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。解解令事件A=两颗骰子点数之和为7,B=有一颗为1点。此题是求条件概率P(BA)o解解两种方法如下：考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6个，即样本空间S=62个根本领件。事件AB=两颗骰子点数之间和为7,且有一颗为1点,两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个，即A=(1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3)而AB=
13、(1,6),(6,1)h由条件概率公式，得2()21PAB36()=PBAP（八）66336事件A发生后，将A作为样本空间，其中有两个结果(1,6)和(6,1)只有一颗骰子出现1点，那么在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为21P(BA)=6318.某人忘记了号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需的概率。假设最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解利用概率性质解(有限可加性)和概率乘法公式。解解令事件Ai=第i次拨通,“到第i次拨通”这个事件为AA-AA(i=l12i-1i2,3)。事件B=不超过三次而拨通),那么B=AUAAUAAA112123该事件表示第一次拨通，或者第一次未拨通，第二拨通(到第二次拨通)，或者第一、二次未拨通，第三次拨通(到第三次拨通)。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得P(B)=P(AUAAUAAA)112123PAPAAPAAA=(1)+(12)+(123)=P（八）+P(A)P(AA)+P(A)P(AA)P(AAA)11211213121919813=+X+XX=101091098101
