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1、泛函分析复习与总结(2014年6月26日星期四10:2011:50)第一局部空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大局部.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间，函数空间，向量空间等.也包括空间的性质,例如完备性，紧性.线性性质，空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一局部内容的归纳和总结。.空间(1)距离空间(集合+距离)!验证距离的三个条件：(X,0)称为是距离空间，如果对于x,y,zX(i)【非负性】p(x,y)0,并且夕(尤,y)=0当且仅当x=y【正定性】；(ii)【对称性】P(X,y)=2(y,x)；(iii)【三角不等式】夕(x,y)夕(x,y)+p(y,z).距离空间的
2、典型代表：S空间、S空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。(2)赋范线性空间(线性空间+范数)!验证范数的三个条件：(X,。称为是赋范线性空间，如果X是数域K=i(或K=)上的线性空间，对于K和x,yX,成立(i)【非负性】x0,并且IIXll=O当且仅当X=O【正定性】；(ii)【齐次性】IlarII=IaH；(iii)【三角不等式】x+y归IXIl+y|。赋范线性空间的典型代表：i空间(=1,2,3,L)、空间=1,2,3,L)、空间(lp8)“(,勿)空间(lpoo)C,勿空间、CI。,句空间、BanaCh空间、所有的内积空间(范数是由内积导出的范数)。(3)内积空间(线性空间+内积
3、)验证内积的四个条件：(X,(,)称为是内积空间，如果X是数域K=i(或K=)上的线性空间，对于K和x,zX,成立(i)【非负性】(x,x)O,并且(x,x)=O当且仅当冗=O【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(x+y,z)=(x,z)+(x,z)；(iii)第一变元齐次性】(or,Z)=a(x,z)；(iv)【共规对称性】(x,z)=(z,x)。内积空间的典型代表：i空间=1,2,3,L)、空间=1,2,3,L)、空间、士口,勿)空间。.D从概念的外延来理解，有如下的关系：(内积空间u赋范线性空间u距离空间.2)内积可导出范数，范数可导出距离，反之未必.例如在赋范线性空间中，如果范数满足
4、平行四边形公式，那么由范数可以定义内积.3)在距离空间中，xkeX(ip(xa,o)O,当X8;赋范线性空间中，L4o=及一Xoll0,当左0O;内积空间中，XkllX0(xk-X0,.-X0)0,当k8卢！要求会验证距离，范数和内积.二.完备性，稠密性，可分性(D!完备性距离的完备性是指“空间中的任何根本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为BanaCh空间；完备的内积性空间称为Hilbert空间.A.验证一个距离是否完备是泛函分析根本的技能。距离空间的*完备化不是本课程的重点.(2)稠密性假设入？8,那么称A在B中稠密.当Au8时，也称A是8的稠密子集.
5、关于A在8中稠密的等价命题：A在B中稠密ODy3,存在乙wA,使得X“jfy；OV0,US(X,)33.xeA(3)!可分性如果5有可数的稠密子集A,那么称8具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间，可分的内积空间等.不具有可分性的空间3称为不可分空间.可分空间的典型代表：i空间=1,2,3,L)、“空间(=l,2,3,L)、*空间(lp勿)空间(lpvo)C,切空间、CYa,勿空间.不可分空间的典型代表：片空间、Lc(,W)空间.A.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.!不可分空间的证明方法：如果空间X中含有一个不可数子集A,且其中任何两个不同
6、点之间的距离大等于一个确定的正数，那么X是不可分的.(例如厂中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；严(。,勿)中这样的集合是他用上的集特征函数全体)三空间中的集合(1)开集、闭集、有界集、无界集；(2)疏朗集、稠密集；13)列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a. i和或有限维赋范线性空间中：WeierStraSS定理(有界集是列紧集)；b. JC,句中：ArZela-ASCOli定理(一致有界且等度连续)；(4)内积空间中的正交集，！正交基.ParSeVaI恒等式、Bessel不等式。(5)有限维赋范线性空间的性质：1 .有界集即列紧集；2 .有限维赋范线性空间中
7、任何两个范数都是等价的。四具体的空间已经学过的具体空间有： i空间(n=l,2,3,L); 空间=L2,3,L); 空间（lpoo）; （a,。）空间（lpoo）; C4,勿空间； C”0,0空间。S.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；（例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、cm,句点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等）。2 要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中WeierStraSS定理和C,b空间中的Arzela-Ascoli定理）；3 !要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法：（/）的完备性证明不作要求）4 .会用Holder不等式、Minkows
8、ki不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；5 .具体空间的共规空间，仅限于要求掌握：空间（lpoo）的共枕空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；”（3,勿）空间（lpoo）的共规空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；第二局部映射算子泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大局部.算子局部包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理，例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二局部内容的归纳和总结。一.泛函分析中的映射在泛函分析中，映射当x,y是空间时称为算子；当
9、X是空间，丫是数域（y=K=i或）时称为泛函；当X是线性空间时，主要考虑线性算子：T（ax+by）=aTx+bTyi4,6K,x,yX;泛函分析中的非线性映射：1. *压缩映射：。（笈,7了890,丁），其中二0,1）.BanaCh不动点定理.2. *紧集上的连续泛函（对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质）.二.有界线性算子（I）L（X,y）是由X映射到y的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当Y是BanaCh空间时L(X,Y)也是Banach空间)；(2)有界线性算子列4：=OUL(X1)的收敛：算子列的按算子范数收敛：Tk!”AT；算子列的强收敛：对于每一个xX,(x)37;
10、*);(参见Banach-Steinhaus定理，P59)(3J重要定理开映射定理、逆算子定理；!共鸣定理、！一致有界定理、！BanaChSteinhaus定理；闭图像定理、!范数等价性定理1P63引理1)；施重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。(4)共扼算子T*共朝算子的定义(T*(x):=/(Tx)以及简单性质；重要实例：*以K(SJ)为核的积分算子的共枕算子、！左位移(右位移)算子的共枕算子。具体的线性算子 !以K(S/)为核的积分算子； !由变上限积分所定义的算子； 微分算子； !由*到*的左位移(右位移)算子.线性算子的有界性等价于连续性.ft.要求掌握：验证算子有意义
11、、验证线性性质、验证线性算子是有界的、！会求较为简单的算子或泛函的算子范数.三.有界线性泛函(1) 乂*的概念和简单性质(乂*=乂,70).(2) X*的概念和简单性质：在等距同构(自然投射)的意义下X可以视为X*的子空间(XuX*),当在等距同构意义下X与X*相等时，称为自反空间；(3) X*的实例：！/P空间(lp)的共挽空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)；(,例)空间(lp)的共匏空间(泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求)；(3)泛函列的收敛：设4皂(=*,按算子范数收敛于(称为强收敛)：ll-v；弱收敛于:对于每一个尸X*：F(Jk)F(Z0)；A弱*收敛于A:对于每一
12、个X：U)W。S.当X是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。2.对于泛函列的弱收敛，也有相应的BanaCh-SteinhaUS定理。(4)点列的收敛:在赋范线性空间X中，设冬晨uX,Z按范数收敛于(称为强收敛)：；八弱收敛于%：对于每一个fX*：f(xk)(x0);弱*收敛于：对于每一个0X：U)U)。在HiIbert空间H中，设8二0u”,Z按范数收敛于X0(也称为强收敛):Xk3X0;看弱收敛于与等价于对于每一个y,(xk9y)(x0,y)(请参考FreChel-RieSZ表示定理(P107定理3)未学，不要求)。(4)|泛函延拓定理及其推论施泛函延拓定理及其推论是重点内容，但表达在定理的应用上。(5)*弱列紧性AIaogIU定理(P74)、EbeIiein定理1P74定理9：自反空间的单位球是弱列紧的)请注意：“！”表示是本课程所考察的重点内容，须引起特别注意！*”表示不是本课程的重点内容或必考内容.
