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1、浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别有人说,Lebesgue积分是Riemann积分的推广。然而对广义Riemann积分来说,Riemann积分的可积性并不意味着LebeSgUe积分的可积性。那么,他们之间有怎么样的联系和区别呢,首先,我们先来回忆一下两种积分的定义。一、积分定义RiemaniI积分定义假设y=(x)是区间LU上的函数,假设存在某个常数A,使得对区间a,b的任意分割:4CXn=8及任意ix1,x,+1,Z=O,l,n-l,只要您给院f0,就有那么称/在,上Riemann可积。1.ebesgue积分定义设EUR是测度有限的可测集,/是定义在E上的有界可测函数,
2、即存在/R,使F(E)=(x)xEu(,/?).假设。:=4(=仅是,得任一分点组,那么记演。)=max-jt_1,Ek=e-1f(x)/J,对任意媒,*t*作和式5(D)-A(x泮-噌)=Iim%叫染)-燔)=17(幻公。7W-,b由定理3(曹广福版实变函数上76页)知,=e,U,进一步f=,=/aea,。因此/在L力上可测。证毕。上述定理中,如果/是在鼠上广义R可积,那么不一定成立。然而,通过一些条件变换,我们有定理假设/(X)在除“上广义R可积,且/(X)不变号,那么/(X)L可积,且积分值相等。证明:就无界函数/(X),积分值域为0,1,/(X)仅在。=0无界,AX)在0,1上非负来证
3、明。令那么每个(外,N都是非负的有界可测函数,容易证明0工(x)(x),且Iim力(X)=F(X)n由Levi定理L Ij(X)而= Iim L f,(x)dm =JIO. IJH-xO,Jf(x)dm=f(x)dmo证毕三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分那么是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是=3/川得度量容易给出,但是当分发的细度充分小时,函数f(x)在。上的振幅4=SUp/*)-inf/(X)仍可能较大。L积分的优点是函数/(x)在上的振幅X4X嗨%=SUPf(X)-inff(r)6(、)较小,但
4、既不再是区间,而是可测集。L积分理论是在测X田XWEk度理论根底上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局限于除”上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等,而L积分那么只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交换问题,条件要求非常苛刻,被积函数必须一致收敛,极限才能通过积分号,不仅计算起来不方便,而且限制过强,L积分的要求就要比R积分少得多,只要函数非负
5、即可。就L控制收敛定理而言,只需存在控制函数厂(助使得勿幻即可,因此在积分与极限交换次序这个问题上,L积分要比R积分灵活方便的多。1.积分与R积分的区别,受限于自身的学力,只能对上述问题进行初步探讨。三、总结本文从L积分与R积分的定义,相关积分计算,积分范围,积分与极限交换次序等简要表达了两种积分的区别;在普遍意义与广义R积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。1.积分的诞生是基于R积分本身出现的问题,如在某些求极限问题上,涉及到无界区间时等,L积分的出现,使可积函数的范围扩大,为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论,也为泛函分析的产生奠定了根底,当然L积分的作用远远不止这些,不过由于自身的的学识,只能较浅显的对两种积分进行讨论。参考文献1曹广福,实变函数与泛函分析(上)(M),高等教育出版社,2011;2华师大数学系,数学分析(M),高等教育出版社,2001;3胡长松,实变函数(M),科学出版社,2002;4黄仿伦,实变函数)(M),安徽大学出版社,2001;5何穗,刘思敏,喻小培等,实变函数(M),科学出版社,2006o