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1、浅谈解析几何中的“点差法”高二(七班)第一学习小组易正贵整理2013年5月解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。下面谈谈什么是“点差法”？什么情况下用“点差法”？假设设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为M(%,y)N(x29y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为
2、“点差法二二次曲线，=i上两点M,N,设M(F,凶)”。2，当)，MN的中点Q(XO,y),MN的斜率为上。22mx,+ny.=1(1)22由一得，m(x1-x2Xxi+2)+11(y1-y2)(y+y2)=nvc2+ny2=1(2)又,$十&=2%,y+y2=Z(Xlw2)占一nr0+nky.=0这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。即弦的中点，可求弦的斜率；斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、抛物线y2=4x,过点P(3,4)的直线/交抛物线于A、B两点且点尸平分AB
3、,求直线/的方程。分析：此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中点坐标，故采用“点差法二fy12=4x.41解：设Aa,%),3(工2，为)，那么2n(M一力)(%+%)=4(项-X2)n&A8=7=7Iy2=4282从而直线/的方程为x-2y+5=0X2V2练习1、过椭圆一+乙=1内一点M(2,l)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。1642、A3C的三个顶点都在抛物线J=32x上，其中4(2,8),且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹22例2、椭圆C：二+匕=1,直线/过点P(1,1)交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹4
4、3方程。分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法二解：设速再,）,3（%2，%），（不）,那么点P在椭圆内部，直线/与椭圆恒有两个交点，点M的轨迹方程为：三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例3、椭圆亍+弓=1,试确定的用取值范围，使得对于直线y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设6（斗,弘），巴（工2，%）为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P（X,y）为弦Eg的中点，那么3j+4%2=12,32+4=12两式相减得，3（-x222，芭-V M 一% =一）4（-y22）=O即3（x1+/X%石）+4（必+%Xy一%）=0Vxi+x
5、2=2x,yl+y2=2y,-=-x1-X24.y=3x这就是弦Rg中点P轨迹方程。它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内联立P=，得产T那么必须满足/3一2/，y=4x+my=-3m4Hn-、2o3Oa7.,a2y/13213即（3n）3W,解得m41313练习、假设抛物线U/=1上存在不同的两点关于直线/：y=m（x一3）对称，求实数M的取值范围.四、证明定值问题例4AB是椭圆/1（。”0）不垂直于X轴的任意一条弦，尸是AB的中点,O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设4（%,乂）,8（毛,%）且引Z，那么与+q=1,+=l,（2）-得:h2ab-ab-y1-y2b2.11+ k2 一一女,+y2)=+4yoA:=O又：IMKl=INK,那么3从而解得XO=2%,%=5,点”(%,凡)在椭圆内，那么
