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1、第二讲：有理数和无理数3【课堂引入】“无理数”的由来公元前500年,古希腊毕达哥拉斯（PythagOraS）学派的弟子希勃索斯（HiPPaSUS）发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这发现使该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的惩处。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛,得不到正确的解释，两个不可通约的比值也直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达芬奇称之为“无理的数”，
2、17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而,真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名为“无理数”一一这便是“无理数”的由来。同时它导致了第一次数学危机。【同步知识梳理】有理数的有关概念1、对我们学过的数进行以下几种情况分类： 正整数：（任写5个） 零：O 负整数：（任写5个） 正分数：（任写5个） 负分数：（任写5个）【问题探窕】1、在数学上，有时为了讨论问题的需要，需要将数进行形式上的转化。例如：545=-4=-一，这就是说，为了讨论问题的需要，我们完全可以把一个整数化成分数的形式1 12、我们还学过
3、小数，如：-2.5,0.3,你能把它们化成分数形式吗？-2.5=,0.3=3、试一试：把下列各数化成分数形式：（1） 15=,1.5=,0=,-2.6=,（2） 0.6=,0.13=重要结论：所有整数都可以化成的形式，所有有限小数、循环小数也都可以化成的形式。4、小结：如果In和n都是整数，且n0,那么称为分数。,n能够写成分数形式的数，叫做有理教5、思考：.是有理数吗？工是有理数吗？226、再探究：除有理数外，还存在其它的数吗？（1）数学家已经获证：4木星整数，也不曷有限小数，更不星循环小数。换句话说，乃是不能化成分数形式的，因此乃不是有理数。事实上，乃是一个无限且不依却个数。这样的数，称之
4、为无理数。因此，你知道一是什么数了吗？2（2）-8.5050050005是有理数还是无理数？-8.5050050005-（两个5之间依次增加1个0）是有理数还是无理数？总结：有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数；有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式而无理数则不能.7、总结：(1)有理数的概念整数和分数统称为有理数.有理数的识别：任何分数都是有理数，有限小数和无限循环小数也都是有理数；O既不是正数也不是负数，是自然数。自然数：(2)有理数的分类有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类.即fI正整数整数零有理数V1负整数IJ正分数I分数负分数有理
5、数还可以按照性质分为：正有理数、零和负有理数三类.即fE则正整数正有理数；TA粕,正分数有理数零士Ey负整数负有理数I负分数无理数：无限不循环小数，叫做无理数。无理数常见的三种形式：根号型：开方开不尽的数，如逝；(初二学习)与n有关的数，如：6JT无限不循环小数：如0.10不循OO小;正有理数,有理数零有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数注意：有理数和无理数统称为实数.实数负有理数“【课堂练习】题型一：有理数概念例1、下列说法：（D-3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数;（4）-2023既是负数，也是整数但不是有理数；（5）自然数
6、是整数，其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1例2、填空（1）既是分数又是负数的数是；（2）非负数包括和；（3）非正数包括和；（4）非负整数包括和；又称为（5）非负分数包括和；（6）非正分数包括和；变式训练1、下列说法错误的是（）A.有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B. 一个有理数不是整数就是分数C. 0既不是正数，也不是负数D.负整数、负分数统称为负有理数2、下列说法中正确的个数有（）-4.2是负分数；3.7不是整数；非负有理数不包括零；正有理数、负有理数统称为有理数；0是最小的有理数A.1个B.2个C.3个D.4个3、下列说法正确的有（）正有理数是正整数和正分数的
7、统称；整数是正整数和负整数的统称；有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；0是偶数，但不是自然数；偶数包括正偶数、负偶数和零.A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列说法中：0是最小的整数；有理数不是正数就是负数；正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；7非负数就是正数；-不仅是有理数，而且是分数；223一是无限不循环小数，所以不是有理数；7无限小数不都是有理数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中错误的说法的个数为（）A.7个B.6个C.5个D.4个题型二：无理数的概念例3、下列各数：Tl-1,一，1.1212212221（每两个1之间增加1个2）,-3.1415,322,
8、7-0.3,其中无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个变式训练1、在314,3-0.23,1.131331333133331（两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个TT2、下列一组数：-8,2.7,3-,-0.6,0,2,0.010010001-（相邻两个1之间依次增加一个0）22其中是无理数有（）783、在一一，1.010010001, 一 ， 0,433A. 1个B. 2个A.0个B.1个C.2个D.3个,-2.626626662，0.12这七个数中，无理数的个数有（C.3个D.4个题型三：有理数的分类例4、在下表适当白勺空格里面画上号；有理数
9、整数分数正整数负分数自然数-7是3.14是0是2是3例5、把下列各数填到适应的大括号中：161222；49；-6-；3.1415；-10；0.62；18；0；-2.3；7-7473（1）正数集合：（2）负数集合：（3）非正数集合：（4）非负数集合：（5）整数集合：（6）非负整数集合：变式训练1、在下表适当的空格里面画上“小号;有理数整数分数正整数负分数自然数-8是-2.25是35是0是2、把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：10-2.3,2.08,-0150,%1.1010010001 :整数集合：正数集合：.);无理数集合：.3、把下列各数填入相应的大括号里：-3,0.2,3.14,8,
10、0,-2,20,14,-6.5,17%,-182,.17负数集：;正分数集：;自然数集：非正整数集：.4、把下列各数填入相应的数集中：223+1、5%、200、-3、6.8、0、0.12003407.1、43.555、77%、-3-5154(1)非负数集合：(2)负有理数集合：(3)正整数集合：(4)负分数集合：:之【课堂提升】1、已知有A,B,C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，A=-2,-3,-8,6,7,B=-3,-5,1,2,6,C=-1,-3,-8,2,5,请把这些数填在图中相应的位置.2、阅读下列材料：设X=Og=O.333，则10x=3333，则由得：9x=3,
11、即x=；.所以03=0.333.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.of=,13=.42【课后巩固训练】1、下列说法错误的是（）A.负整数和负分数统称负有理数B.正整数，0,负整数统称为整数C.正有理数与负有理数组成全体有理数D.3.14是小数，也是分数2、下列说法正确的个数是（）零是正数；零是负数；零是偶数；零是奇数；零是自然数.A.0个B.1个C.2个D.3个3、下列关于有理数的分类正确的是（）A.有理数分为正有理数和负有理数B.有理数分为整数、正分数和负分数C.有理数分为正有理数、0、分数D.有理数分为正整数、负整数、分数4、下列语句正确的是（）A.0是最小的数B.最大的负数是C.比
12、0大的数是正数D.最小的自然数是15、下面关于“0”的说法中，正确的个数是（）是正数，是有理数；不是正数，也不是负数；是整数，不是自然数；不是正数，是有理数.A.0个B.1个C.2个D.3个6、下列各数中与，0.123456789101L.（省略的为1）,0,2.无理数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、下列说法中，正确的是（）A.有理数就是正数和负数的统称B.零不是自然数，但是正数C.一个有理数不是整数就是分数D.正分数、零、负分数统称分数8、最小的正整数是,最大的负整数是,最小的非负整数是9、有六个数：-0.123,0,3.1416,爷,-2,0.1020020002.,若其中
13、无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,则x+y+z=.10、把下列各数填入相应的大括号里.3.14,-1,20%,0,-5.0,10,-0.23,-417负有理数集合：.;正分数集合：;自然数集合：.11、把下列各数填在相应的大括号内：W0,314,-2,-0.55,8,1.121221222L.（两个1之间依次多一个2）,0.2111,201,53379999.正数集合：;负数集合：;有理数集合：;无理数集合：.12、把下列各数分别填在相应的横线上：1,-0.20,3,325,-789,0,-23.13,0.618,-2014,0.1010010001.正数有：;分数有：;负数有：;正整数有：;非正数有：:负整数有：:非负数有：.负分数有：.非负整数有：
