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1、海淀L(4分)定义一种新运算:当时，c+b=b;当。匕时，crkb=a.例如，1*3=1.(1)计算：=；(2)对于式子工支(Io-x),若X(IO-X)=4,求X的值；当X的值分别取加，?+1,山+2,m+3(加为整数)时，式子X(IO-X)的值的和的最大值为.2. （6分）已知NAO8=30,ZBOP=mZAOP（n0,且OP不与OA重合）.(1)当旭=1时，若射线OP在NAoB内，请用量角器在图1中画出射线OP,则NAoP的度数为.(2)当帆=2时，OQ平分NAoR求NBoQ的度数.O3. (7分)对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数4给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位
2、长度的线段A8,使得将数组P中的每一个数乘以Z之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数.例如，对于数组P：1,2,3,因为：-i-1=，2=,3=1,取A为原点，333338为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断k=是P的收纳系数.已知女是数组P的收纳系数，此时线段AB的端点A,B表示的数分别为“，b(a在N/OC的内部.求/80。的度数；若NEoC与NOO8互余，求NEOC的度数；(2)若NNOO=/(0-3-2-1OI23在数轴上，已知点4表示的数是-4,点5表示的数是2.(1)若点C在线段48上，且点C是点/关于点8的“5倍分
3、点”，则点C表示的数是:(2)若点。在数轴上，JD=IO,且点。是点5关于点力的“倍分点”，求A的值：(3)点E从点5出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.当点E运动1秒时，在儿8,E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“-倍分点”，4直接写出，的值.25 .小东对有理数”,人定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：(+3)0(+2)=+1,(+ll)(-3)=-8,(-2)8(+5)=-3,(-6)(-1)=+5,(+l)0(+i)=+,(-4)0(+0.5)=-3.5,(-8)(-8)=0,(+2.4)(-2.4)=0,(+23)80
4、=+23,00(-)=+-.44小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了.”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得,异号得,并：绝对值相等的两数相“乘减”，都得0：一个数与。相“乘减”，或。与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值.(2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，用“乘减法”计算：(+3)(-2)8(-9)。=:小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即=但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明(flZ)c=t(r)不成立.26 .已知点/,B,
5、C,。在数轴上，它们表示的数分别是a,b,c,d,且VYcVd,AB=ItBC=w3,C0=m+4（其中w0）.（1）若m=5,为任意的整数.用含的式子表示c：试说明+b+c+d一定能被4整除：（2）若abcdO,且0,b,c,中有两个数的和与+c+d相等.有如下四个结论：（八）原点。可能与点5重合；（B）原点。不可能在点。的右侧；（C）原点O可能是线段彳。的中点；（D）原点O可能是线段8C的中点.其中所有正确的结论是.（填选项字母即可）用含用的式子表示6并直接写出结果.8. （6分）给出定义如下：我们称使等式。-方=曲+1的成立的一对有理数。，b为“相伴有理数对”,记为（a,b）.如：3-工
6、=3义工+1,5-2=5x2+1,所以数对（3,A）,（5,2）都是“相伴有理数223323对”.数对（2,工），（-L-3）中，是“相伴有理数对的是；32（2）若（x+l,5）是“相伴有理数对，则X的值是;（3）若（,b）是“相伴有理数对，求3曲-。+工（a+b-5ab）+1的值.29. （6分）某商场经销A,8两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%.（1）每件A种商品利润率为,B种商品每件进价为；（2）若该商场同时购进A,B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场对A,8两种商品进行如下
7、的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过500元不优惠超过500元，但不超过800元按总售价打九折超过800元其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A,B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额.10. （6分）已知数轴上两点A,B对应的数分别为-2,4,点P为数轴上一动点，其对应婪j。I1I的数为即.-4-3-2-1012345（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数XP=；（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8,求此时点P对应的数Xp的值；（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两
8、个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”.如图，原点O是点A,B的2倍点.现在，点A、点8分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动.设出发1秒后，点P恰好是点48的“2倍点”，请直接写出此时的f值.11. 数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘以2,加上5,再乘以50,加上1772,最后再减去你出生的年份.把运算的结果告诉我，我就能猜中你默想的那个一位数和你今年（2022年）的年龄.注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年112月出生，今年（2022年）都是22岁.你知道数学老师
9、是怎么做到的吗？（1）举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2022年）的年龄的；（2）解释其中的原理.12. 阅读材料，并回答问题对于某种满足乘法交换律的运算，如果存在一个确定的有理数小使得任意有理数和它进行这种运算后的结果都等于本身，那么叫做这种运算下的单位元.如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元.由上述材料可知：（1）有理数在加法运算下的单位元是，在乘法运算下的单位元是;在加法运算下,3的逆元是,在乘法运算下,某个数没有逆元,这个数是：（2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y=x+y-盯，例如3*2=3+2-32=-1.求在这种新的
10、运算下的单位元；在这种新的运算下，求任意有理数?的逆元（用含m的代数式表示）.13. （5分）有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被H整除吗？下面是小明的探究过程，请补充完整:（1）举例：例13+31=44,4411=4;例24+42=66,6611=6;例.（2）说理：设一个两位数的十位上的数是。，个位上的数是瓦那么这个两位数可表示为.依题意得到的新数可表示为.通过计算说明这个两位数与得到的新数的和能否被11整除：.（3）结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和（填“能”或“不能”
11、）被11整除.14. （6分）在数轴上，点。表示的数为0,点M表示的数为m（mWO）.给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”.如图1,若m=点尸表示的数为3,当点。与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4,则点P与线段OM的“闭距离”为4.（1）如图2,在该数轴上，点A表示的数为-1,点B表示的数为2.当m=l时，点A与线段OM的“闭距离”为；若点B与线段OM的“闭距离”为3,求机的值；（2）在该数轴上，点。表示的数为一%点。表示的数为加+2,若线段8上存在点G,使得点G与线段OM的“闭距离”为4,直接写出机的最
12、大值与最小值.（Q）MOPI1111u-2-10123图1AOBIXX1i11-2-1O12345图215. （6分）已知：如图，QA_LO8.若NBOC=20,OP平分NAoC,依题意补全图形并求NPoB的度数.ZL016. （6分）对于数轴上的点尸，Q,给出如下定义：记点P到原点的距离为？（m0）,点。到P的距离为人如果=?+2,那么称点。是点P的关联点.（1）点4表示的数是1.若点Bi,M加表示的数分别是-2,2,4,则点必，及，仍中，是点A关联点的是；（2）若点G。位于原点两侧，。是点C的关联点，则点。表示的数是:（3）点E表示的数为小点尸表示的数为34-5.若点尸是点E的关联点，则。
13、的值是.17. (7分)在学习数轴时发现：若点A,8表示的数分别为3,-1,则线段AB的长度可以通过计算3-(-1)=4得到.【初步探究】如果设数轴上两点4B表示的数分别为X,-+2,当X取如下的一些值时，那么线段AB的对应长度如下表：X-2-0.5O122.54-+242.521O-0.5-2AB的长度632O236观察上表，结合数轴，回答下列问题：(1)若点A,B重合，则X=；若x=7,则线段A8的长度为；(2)若点A向右运动，则r+2的值会变(填“大”或“小”)；(3)若AB=50,求X的值；【深入思考】如果设数轴上两点A,B表示的数分别为2r,x2l,用含X的式子表示线段A8的长度为.18. (7分)给出如下定义：如果NAoC+NBOC=90,且NAoC=ANBoC(A为正整数),那么称NAoe是NBOC的“倍锐角”.(1)下列三个条件中，能判断NAOC是NBOC的“倍锐角”的是(填写序号):NBOC=I5；NAOC=70；OC是NAoB的角平分线；(2)如图1,当NBOC=30时，在图中画出NBoC的一个“倍锐角”NAoe
