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1、课题二重积分的概念与性质课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解二重积分的概念和性质(2)掌握二重积分的计算方法和基本技巧素质目标：(1)解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考(2)了解和认识事物的全面,要多方面考虑教学重睚点教学重点：二重积分的概念和性质教学难点：二重积分的计算方法和基本技巧教学方法讲解贾、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务,和学生负责人取得联系,让其提醒同学通过APP或其他学习软件,预习本节课的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教
2、师】提出问题：请回顾定积分的概念。【学生】聆听、思考、回答案例导入【教师】提出问题：对于形状不规则的几何体，它的体积如何求得?设二元函数z=/(x,y)在有界闭区域。上连续，且/(x,y)。(x,y)三D.求以曲面z=(x,y)为顶，以区域。为底，以平行于N轴的直线为母线的曲顶柱体的体积，如图9-1所示.依照求曲边梯形面积的方法来求上述曲顶柱体的体积.(1)将区域。任意分成/7个小区域A?,2,n,仍然用,表示第7个小区域的面积，这样就把曲顶柱体分成了。个小曲顶柱体；(2)为了求每个小曲顶柱体的体积匕，在每个小区域A,内任取一点(。，功)，用高为/(。，/)，底为,的平顶柱体体积f(i,%)来
3、近似代替AV；,即V/(*)Ab,(i=1，2,)；(3)曲顶柱体所只P可近似fe三示为V=(1.)1.;/=17=1(4)用4表示个小区域中的直径最大值(有界闭区域的直径是指该区域中任意两点间距离的最大值).当/I0时，i和式的极限就是曲顶柱体体积1/.V=期巧C?”r=l【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二重积分的概念与性质等知识一、二重积分的概念【教师】通过两个例题，提出二重积分的定义为了引入二重积分的概念，先考察两个实例.例1【曲顶柱体的体积】设二元函数2=/(心)，)在有界闭区域。上连续目/。，丫，.0。，田。求以曲面=(x,y)为顶，
4、以区域。为底，以平行于Z轴的直线为母线的曲顶柱体的体积，如图9-1所示.1图9-1依照求曲边梯形面积的方法来求上述曲顶柱体的体积.(1)将区域。任意分成个小区域A/,2仍然用Abi表示第7个小区域的面积，这样就把曲顶柱体分成了个小曲顶柱体；(2)为了求每个小曲顶柱体的体积,在每个小区域区内任取一点(白，/),用高为/(，7),底为r的平顶柱体体积/(,rji),来近似代替匕，即匕(/=1,2,，)；(3)曲顶柱体体积/可近似地表示为V=2L(,77,),.;/=IHI(4)用表示个小区域中的直径最大值(有界闭区域的直径是指该区域中任意两点间距离的最大值).当l()时，上述和式的极限就是曲顶柱体
5、体积1/.VZ=PE/(47,)八5/1例2【平面薄片的质量】设有一平面薄片被置于X。平面上，它所占有的区域记为。,如图9-2所示.假设此薄片的质量分布是不均匀的，其面密度为2*，0,求这个平面薄片的质量.图9-2当薄片质量分布均匀时，其质量等于面密度乘薄片面积.因此，我们仍采取分割的方法来求质量分布不均匀薄片的质量.(1)将区域。分割成个小区域A6,2,.fn,仍然用A,表示第，个小区域的面积；(2)在每个小区域.内任取一点(,z7r.),近似地将小块,看成是质量均匀分布的，其面密度为P&,)，则小块的质量.近似地为1.p(iti)l;(3)整个薄片的质量例可近似地表示为=.p(.,77r.
6、).;I=IZ=I(4)用表示个小区域中的直径最大值，当义O时，上述和式的极限就是平面薄片的质量M二盛0(如7Mbi三1类似于定积分的引入，我们抛开上述两个实例的实际意义，可以抽象出二重积分的概念.定义设/(X,.V)是有界闭区域。上的有界函数.将。任意分成个小区域，2,，zf,小区域AG的面积仍记为A6.在A6内任取一点(。，%),作和式之/(。，/让，如果当各小区域中r=l的最大直径丸趋于零时，若此和式的极限存在，则称此极限为函数/(x,y)在区域D上的二重积分，记作U*y)d,即Df(x,y)db=Iim2Di=其中，J)称为被积函数,。称为积分区域，db称为面积元素,/(x,y)db称
7、为积分表达式.根据二重积分的定义,上述讨论的曲顶柱体体积和平面薄片的质量可分别表示为V=JJf(X,y)d和M=JJP(X,y)db.DD【教师】讲述二重积分定义的注意事项下面对二重积分的定义作两点说明：(1)如果二重积分JJ/(X，y)db存在，就称函数/(x,)，)在区域D上是可积的.可以证明，如果函数Df(，y)在有界闭区域。上连续，则f(,y)在区域。上可积;(2)在直角坐标系中，二重积分可记为(x,y)d=(x,y)hdy.DD其中，duly称为直角坐标系中的面积元素.【教师】介绍二重积分的几何意义二重积分的几何意义：当/(，y)。时Jj7(X，y)dcr等于曲面2=(,y)在区域。
8、上所对应的曲顶D柱体的体积.二、二重积分的性质【教师】提出二重积分的性质二重积分与一元函数定积分具有类似的性质.下面所涉及的函数均假定在。上可积.性质1m港常数可以提到二重积分符合外面，即4f(x,y)d=kf(x,j)d(Z为非零常数).DD性质2两个函数代数和的二重积分等于二重积分的代数和，即U,y)g(x,y)d=(x,y)dg(x,y)d.性质3若区域。分为两个子区域D1和3，如图9-3所示,则(x,y)d=(x,y)db+JJ(xy)d.DDiD2&图9-3性质4若在区域。上有0,y)三1,。是。的面积，那么Cr=JJlder=JJdb.DD性质5若在区域。上有f(x,y).g(x,
9、y),则J(,y)dbJg(,y)db.DD性质6【估值定理】设例，m分别是函数/(x,y)在区域。上的最大值和最小值，。是。的面积，则?cr领JjJf(X,y)dM.D性质7【中值定理】如果f(x,V)在有界闭区域。上连续，则至少存在点C,)G。，使得(x,y)d=(,77)(t)三D.D【学生】聆听、思考、理解、记忆知识拓展【教师】讲解二重积分的性质和计算【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题估计二重积分JJ(X+3y+7)db的值，其中。为矩形闭区域：Oxl,0y2.D【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二重积分是定积分的推广，用分割、近似、求和、取极限”这四个步骤可求得曲顶柱体的体积.读者应学习掌握用这种类比处理问题的方法来研究、认识新概念、新问题.【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练9-1的习题【学生】完成课后任务教学反思
