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1、专题1.3直角三角形【八大题型】【北师大版】【题型1添加条件利用HL使三角形全等】1【题型2判断三角形全等的依据】2【题型3利用HL证明全等】4【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】5【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】6【题型6利用HL解决坐标与图形问题】8【题型7写出某个命题的逆命题】9【题型8判断逆命题的真假】10【知识点1直角三角形全等的判定】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.【题型1添加条件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上北京海淀八年级校考期中）阅读下面材料：已知线段小h.求作：RtABC,使得斜边
2、8C=,一条直角边AC=b.作法：（1）作射线40、AE,且AEim（2）以A为圆心，线段匕长为半径作弧，交射线AE于点C（3）以。为圆心，线段。长为半径作弧，交射线AD于点8.（4）连接8C.则AABC就是所求作的三角形.上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（）Ia,bA. HLB. SASC. AASD. SSA【变式1-1（2023下广东佛山八年级校考阶段练习）如图，已知ADIBC,若用HL判定ABD三4?。,只需添加的一个条件是.【变式1-2（2023下山东青岛八年级统考期中）如图，已知点B,F,。在同一条直线上，BE=CF,ABlAF,CD1DE,若添加一个条件（不再添加
3、新的字母）后，能判定ABF与OCE全等，则添加的条件可以是（写出一个条件即可）.【变式1-3（2023下安徽宿州八年级统考期末）如图，CD143于点D,EF148于点尸，CD=E凡要根据“HL”证明RtACDRtBEFt则还需要添加的条件是（）A.A=ZfiB.ZC=DC.AC=BED.AD=BF【题型2判断三角形全等的依据】【例2】（2023上福建泉州八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知乙4。B的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M画。力的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P,画射线0P.可以得到AOMPwaONP,所以ZyloP=乙BOP,那么射线OP就是乙40
4、B的平分线.0MP三ONP的依据是A. SASB. ASAC. HLD. SSS【变式2-1（2023上江苏南京八年级校联考期末）如图，已知ACJ_80,垂足为。，AO=CO,AB=CD,则可得到AAOB三AC。，理由是（）【变式2-2（2023上河北邯郸八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂克,滑梯AB的高度4C与滑梯DF的水平宽EF相等，则ABC三FDE的依据是（）【变式23】（2023下广东深圳八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有RtAABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt A48C,使得Rt Zk48CWRt ZkABC.小赵和小刘同学先
5、画出了对这两种画法的描述中正确的是（）A.小赵同学作图判定RtA,B,C,三Rt48C的依据是HLB.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长C小刘同学作图判定RtA,B,C,=RtABC的依据是ASAD.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段4C的长【题型3利用HL证明全等】【例3】（2023四川泸州统考模拟预测）如图，AB=CD,DELAC,BFLAC,E、是垂足，DE=BF,求证：AABF三ACDE.【变式3-1（2023上福建厦门八年级统考期末）如图是RtA8C,根据下列尺规作图痕迹作出的RtA1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的是
6、（）【变式3-2（2023上河南驻马店八年级统考期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“己知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等“，但下列两种情形还是成立的.（I）第一种情形（如图Q）(/)在4BC和ADEF中，C=F=90o,AC=DF,AB=DEf则根据,得出4BC三0尸，并写出推理过程；（2）第二种情形（如图b）在AABC和AOET中，Z.C=ZF（4C和均为钝角），AC=DF,AB=DEt求证：ABC=DEF.（提示：分别过点4、点。添加一条辅助线，构造全等）【变式33】（2023上山东聊城八年级校联考阶段练习）如图所示，己知AB=AC,AE=AF/尸IB尸于尸，AElEC于
7、E,则图中全等的三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】【例4】（2023上河北衡水八年级校考期末）如图，在48C中，C=90o,CAD=BAD,OElAB于E,点尸在边AC上,连接DF.（1）求证：AC=AEi（2）若AC=8,AB=10,求DE的长；（3）若CF=B,直接写出线段AB,AF,EB的数量关系.【变式4-1（2023下吉林长春八年级校考期末）如图，在AABC中，ACB=90o,AC=BCtAD1CE,BE1CE,垂足分别为点。、E,CE交AB于点F.(1)求证：AACD三ACBE；(2)若AC=AF,AD=12,BE=5,则
8、FE的长.【变式4-2(2023上山东泰安八年级统考期中)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30。,点4处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围IOom以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿尸N方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为I8kmh,那么学校受影响的时间为多少秒？【变式4-3(2023下湖南张家界八年级统考期中)如图15,在RtC中，ZC=90o,AC=IOcm,BC=5cm.一条线段PSA5,并且P、。两点分别在线段AC和过4点且垂直于AC的射线AM上运动.问当P点位于AC的什么位置时由尸、Q、A点构成的三
9、角形与AABC全等？并说明理由.【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】【例5】湖北武汉.八年级校联考期中如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度4C与右边滑梯水平方向的长度。尸相等，两个滑梯的倾斜角2B和ZF的大小有什么关系？【变式5-1（2014上.浙江金华八年级统考期中）己知：在BC中，。为4C的中点，DEJ.AB,DF1BC,垂足分别为点F,且DE=OF.求证：AABC是等腰三角形.【变式5-2（2023上河北沧州八年级统考期中）如图，在ZMBC中,NC=90。,AD=AC,DE1ABBC于点E（1）力CE与AADE是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若乙B=28,则乙4E
10、C的度数为.【变式5-3（2023下湖北武汉八年级校联考期中）如图，在ABC中，点。是BC的中点，DE1AB,DF1AC,且DE=DF.（2）连接40,求证：40平分4B4C.【题型6利用HL解决坐标与图形问题】【例6】(2023上福建莆田八年级校考阶段练习)在平面直角坐标系中，A,P分别是X轴、y轴正半轴上的点，B是线段OA上一点，连接P8.求证：DB0=CBA;若OP=OA,求证：BD+BC=BP；(2)如图2,4(5,O),B(2,O),G是尸8的中点，连接4G,M是X轴负半轴上一点，PM=24G,当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其
11、变化的范围.【变式6-1(2023上广东惠州八年级惠州市第八中学校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，AB=CD,OA=OC=1,OB=2,则点。的坐标是.【变式6-2(2023上黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)如图，平面直角坐标系中坐标轴求A点坐标；(2)点。为第四象限内一点，点尸从点8出发沿K轴正方向运动，速度为2个单位/秒，连接PQ、AQ,4Q交X轴于点在运动过程中，NBPQ始终等于150。，且ZM=OQ,请用含，的代数式表示A48P的面积：(3)在(2)的条件下，当NBQA=2BQ,时，求此时P点坐标.【变式6-3(2023下四川成都八年级校考阶段练习)如图1,在平面
12、直角坐标系中，已知点A,8的坐标分别为(0,3),(3,0)求直线AB的解析式；(2)如图2,点。是点8关于y轴的对称点，点。是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度s,设点尸运动的时间为由点。为射线BA上一点，当/=5时，弊=：,SCDB3求点。的坐标；(3)如图3,在(2)的条件下，当PDC为等腰直角三角形时，求I的值.【知识点2逆命题、逆定理】两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。【题型7写出某个命题的
13、逆命题】【例7】(2023上山西吕梁八年级校考阶段练习)把命题”等腰三角形是轴对称图形”的逆命题改写成“如果那么”的形式：.【变式7-1(2023上八年级课时练习)命题：”等角的余角相等”的条件是,结论是：,逆命题是.【变式7-2(2023下江苏盐城八年级统考期末)命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等的逆命题是.【变式7-3(2023八年级单元测试)将命题“所有直角都相等”的逆命题改写成“如果那么”的形式：.【题型8判断逆命题的真假】【例8】（2023上安徽亳州八年级统考阶段练习）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.【变式8”】（2023上浙江衢州
14、八年级统考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（）A.两直线平行，同位角相等；B.对顶角相等；C.如果Ial=IW，那么Q=b；D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【变式82】（2023上河南周口八年级统考阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（）A.两直线平行，内错角相等B.有两个角互余的三角形是直角三角形C.如果=y,则/=VD.直角都是90。【变式8-3（2023下山东德州八年级统考期中）已知乙4,乙B,乙C的对边分别是Q,b,c,下列命题的逆命题成立的是（）A.若乙4=4C乙氏则4BC为直角三角形B.若a:b:c=3:4:5,则4B=90C.若AABC为直角三角形,则乙4:4BzC=5:2:3D.若a2=Q+c）3-c）,则力BC是直角三角形
