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1、专题L8等腰三角形中的分类讨论思想七大考点【北师大版】【题型1与边分类讨论】1【题型2与角分类讨论】3【题型3与高分类讨论】7【题型4与垂直平分线分类讨论】11【题型5与中线分类讨论】16【题型6与动点、动线段需分类讨论】19【题型7构造等腰三角形需分类讨论】23【题型1与边分类讨论】【例1】（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为b,且b满足（-2）2+g-3=0,则此等腰三角形的周长为（）A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10【答案】A【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于。的方程组，接下来解方程组即可求出。、方的值，再分类讨论，可得结论.【
2、详解】解：根据题意得，-2=0,6-3=0,；Q=2,力=3,当Q=2是腰时，三边分别为2、2、3,能组成三角形，周长为：2+2+3=7.当b=3是腰时，三边分别为3、3、2,能组成三角形，周长为：3+3+2=8.所以等腰三角形的周长7或8.故选：A.【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题.【变式1-1（2023春山东威海八年级统考期末）用一条长20Cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为.【答案】4cm【分析】设较短的边长为犹m,则较长的边为2%cm,分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底
3、边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案.【详解】解：设较短的边长为%cm,则较长的边为2xcm,当较短的边为底边，较长的边为腰时，则%+2%+2%=20,解得：X=4,此时三角形三边长分别为4cm,8cm,8cm,能组成三角形；当较长的边为底边，较短的边为腰时，贝j2x+x+x=20,解得：x=5,此时三角形三边长分别为5cm,5cm,10cm,5+5=10,.不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；综上所述，三角形底边的长为4cm,故答案为：4cm.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类
4、讨论的思想解题，是解此题的关键.【变式1-2（2023春安徽六安八年级校考期中）己知等腰448C的周长为18,BC=8,若AABC三ADEF,则ADEF中一定有一条边等于（）A.7B.2或7C.5D.2或5【答案】D【分析】分8C为腰、BC为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答.【详解】解：当BC=8为腰时，等腰448C的周长为18,，另两边为8或2,当BC=8为底时，另两边为5或5,：bABCDEF,DEF中有一条边等于2或5,故选：D.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.【变式1-3（2023春陕西西安八年
5、级西安市第八十三中学校考阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值攵称为这个等腰三角形的“优美比若等腰三角形的周长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比”为（）a-!BYC.遇D.期【答案】C【分析】分两种情况：48为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k.【详解】解：当4B腰时，则底边=3cm；此时，优美比A=/当48为底边时，则腰为4cm；此时,优美比k=：；4故选：C.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.【题型2与角分类讨论】【例2】（2023春八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角
6、形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为.【答案】36。或售）。【分析】分两种情况画出图形，当BC=BD=AD,AB=AC时，设乙A=%得乙C=乙CDB=2a.ABCC=2a.由zL4+ABC+/C=180,则+2a+2a180%即可得到=36；当4D=BD,BC=DC,AB=AC时，设44=a.得448C=KC=3.则+ABC+ZC=180,则+3+3a=180,得=卅【详解】解：分两种情况讨论：如图（1）,(1)C当BC=BO=AO,4B=力C时，Sz4=a.9：BD=AD,ABD=ZJI=,Z.CDB=ABD+zl=2.：BC=BD,L.C乙CDB=2a.VAB=AC,WBC=ZC=
7、2a.VZi4+z4C+zC=180o,.a+2cr+2a=180o,解得a=36o.如图，AAB(2)CAC时，设乙4 = a.当AO=BD,BC=DCtAB=,ADBD,.*.A=ABD=a.BDC=A+乙ABD=2a. ；BC=DC,；乙CBD=BDC=2a,ABC=乙ABD+乙CBD= ：AB=AC, ABC=L,C=3a.,A+ABC+C=180o,a+3+3=180,解得=（崂。.综上，原等腰三角形顶角的度数为36。或（一）。.故答案为：36。或（一）。【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键.【变式2-1（2023春
8、安徽亳州八年级统考期末）一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2:5,它的三个内角可能是（）A.30o,30o,120oB.50,50,80C.75o,75o,30oD.80,80,20【答案】C【分析】分两种情况，然后根据三角形的内角和列方程，即可得到结论.【详解】解：.两个内角的度数的比是2:5, 设一个内角等于2%,另一个内角等于5%, 三角形是等腰三角形，.*.2x+2x+5x=180oWc5x+5x+2x=180,解得：=20。或无=15, 三个内角是40。,40o,100。或75。，75,30,故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质
9、是解题的关键.【变式2-2（2023春八年级课时练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值若等腰AABC中，乙4=80,则它的特征值A为（）A.9或B.3或：C.3或4D.9或4【答案】A【分析】分NA为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可.【详解】解：当NA为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：i（180o-80o）=50 I8008k=-=-当NA为底角时，顶角的度数为：180-80-80。=20。.特征值k嗡W综上所述，k为g或右故答案为A.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，NA是顶角还是底角的分
10、类讨论是正确解答本题的关键.【变式2-3（2023春山东枣庄八年级统考期中）如图，在A48C中,IABC=40。,BAC=80,以点式为圆心，4C长为半径作弧，交射线84于点D,连接CD,贝叱BCO的度数是.【答案】10。或100。【分析】分两种情况：当点。在BA上时，当点）在BA的延长线上时，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案.【详解】解：如图，当点。在BA上时，由作图可得：AD =ACf.Z.ADC=Z-ACDtADC+ACD+乙BAC=180o,BAC=80,ccACC1800-ZR4C180o-80o-o.ADC=ACD=50,22 在AABC
11、中，ABC=40o,Z.BAC=80, 乙ACB=180-乙ABC-4BAC=18040-80=60, .乙BCD=Z-ACB-ACD=60-50=10,当点Zr在BA的延长线上时，由作图可得：AD,=AC,AD,C=ACD,fD,AC=ABCACB=40o+60o=1OO,AD,C+ACD,+D,AC=180o,.AD,C=ACD,=40o,BCD,=ACB+ACD,=60o+40o=100o综上所述：4BCO的度数是：10。或100。，故答案为：10。或100。.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是
12、解此题的关键.【题型3与高分类讨论】【例3】（2023春广东深圳八年级校考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）A.15。B.75oC.15。或75。D.无法确定【答案】C【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数.【详解】解：当A48C为锐角三角形时，作CDIAB于点。，取Ae的中点E,连接。E,如图：.E为AC的中点，：.DE=CE=AC,9CD=-ACt2：.CD=CE=DE,ACDE为等边三角形,.DCE=60o,z=90o-60=30o,:AB=A
13、C,B=乙ACB=75；当4BC为钝角三角形时，作BDlCA,交C4的延长线于点D,取48的中点E,连接DE,如图:则UDB=90。，TE为AB的中点，：.BE=DE=-AB,2,:BD=-AB,2ABOE为等边三角形，.*.ABD=60,zDi4=90o-60=30,.LBAC=150,*：AB=AC,1.ABC=ZC=15；综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是15。或75。，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答.【变式31】（2023
14、春河南南阳八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为40。，则腰上的高与底边的夹角为.【答案】20。或50。【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算.【详解】当40。角为底角时，如图，VCA=CB,J.CAB=乙B=40o,过点A作AO1CB,交BC的延长线于点Df.*.ADC=90,.DAB=90-B=50；当40。角为顶角时，如图,：CA=CB, Z.CAB =乙 B =180o-40o=70,过点A作AGlCB,交BC于点G,，乙4G8=90。,zGi4F=90o-zF=20o;故答案为20。或50。.【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键.【变式32】（2023春全国八年级课堂例题）已知的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,则【答案】图见解析，45。或135。【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案.
