点线面位置关系第一轮复习.docx

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1、本课内容:点线面位置关系【空间中的平行问题】(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行。(线线平行f线面平行)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。线面平行f线线平行)(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行一面面平行)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。(线线平行一面面平行)垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理:如果两

2、个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行一线面平行)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行一线线平行)【空间中的垂直问题】(1)线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。(2)垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相

3、交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。【空间角问题】(1)直线与直线所成的角两平行直线所成的角:规定为O两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角:过空间任意一点。,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,a,b,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。(2)

4、直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角:规定为O平面的垂线与平面所成的角:规定为90平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算二在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,解题时,注意挖掘题设中两个信息:斜线上一点到面的垂线;过斜线上的一点或过斜线的平面与面垂直,由面面垂直性质易得垂线。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。二面角

5、的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法:二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角【例题分析】例1如图,在正方体CIDI中,E,F分别是48,的中点.求证:(I)E、C、Di.F四点共面;(11)CEDA、DIF三线共点.【分析】对于(I

6、)中证明“、C、5、F四点共面”,可由这四点连接成两条直线,证明它们平行或相交即可;对于(II)中证明8、DA.DIF三线共点”,可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上.证明:(I)连接D1C、48、EF.,:E,F分另是48,AAl的中点,.,.EFAB,EF=LAB,2又4Di8C,A1D1=BC,.4DCB是平行四边形.A1B/D1C,EF/D1C,、C、Di、F四点共面.(11)由(1)得小81,EF=;CD,直线CE与直线OIF必相交,记CErWIF=P,VP三D1FU平面AIADD1,PCEu平面48C。,:.点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点.平面A1ADD1平

7、面ABCD=AD,.PAD,、DA.DIF三线共点.2、证明。,b,C三线交于一点的主要依据:(1)证明Q与b相交,C与b相交,再证明两交点重合;先证明。与b相交于点P,再证明Pc.例2在四棱锥PBCD中,底面A8CD是平行四边形,M,N分别是48,PC的中点,求证:MN平面PAD.【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明:方法一,取P。中点E,连接AE,NE.V底面A8CD是平行四边形,M,N分别是48,PC的中点,:.MA/CD,MA=-CD.2TE是PD的中点,:.NE/CD,NE=-CD.2

8、:,MA/NEt且MA=N,:AENM是平行四边形,.MNAE.又AEU平面外D,MNallb=allb(2)证明线面平行:aca=0allballbua,ClaaGU6=alla=Qlla=CHla证明面面平行:Ofn6=0all6,bll6aa,aall7,a,bua,arb=Anail=allnailnail例3在直三棱柱4BC-4BC中,AA1=AC,ABACf求证:A1CYBCi.【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明4C垂直于经过8G的平面即可.证明:连接4G.,NBC4BlCl是直三棱柱,平面48C,.ABLAA1.又A8L4C,平面4ACC,4C4

9、B.又4h=4C,侧面4ACJ是正方形,.A1CAC.由,得4C_L平面A8G,.A1CBC1.例4在三棱锥P48C中,平面力8_1_平面48C,ABLBCfAPI.PBf求证:平面%C_L平面P8C.【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.证明:;平面外8_L平面A8C,5F三PAB5FffiABC=ABf且A8_L8C,,8C_L平面PABf:.APYBC.又APj_P8,4P_L平面PBC,又APU平面PAC,工平面以C_L平面P8C.【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:证明线线垂直:0c,bctO-Labua=

10、G-Lb=a_Lb证明线面垂直:a-LmfO-Lnallb,b,Laall,Q_L6,QC6=/m,n,mn=AGU6,al=aa=aa=aanaJ_Q证明面面垂直:JL6,uana_L6例5如图,在斜三棱柱A8C4BC中,侧面/MB81是菱形,且垂直于底面ABC,ZA1AB=GQo,E,F分别是A8,8C的中点.(I)求证:直线EF平面AiACCu(三)在线段48上确定一点G,使平面EFG_L平面48C,并给出证明.证明:(I)连接4C,A1E.侧面4A8&是菱形,E是ABi的中点,也是48的中点,又F是8C的中点,F4C.4CU平面AiACCi,EFZ平面AiACCi,,直线EF平面AiA

11、CCi.Rr1解:当一二一时,平面EFGJ_平面48。,证明如下:连接EG,FG.GA3;侧面44881是菱形,且NMB=60,ZVMB是等边三角形.BG是48的中点,=-,EGAB.GA3;平面4MB8i_L平面ABC,且平面44881平面ABC=AB,G_L平面ABC.又EGU平面EFG,,平面EFG_L平面ABC.课堂练习:一、选择题1 .各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为4,体积为16,那么这个球的外表积是()A.6B.20C.24;TD.32%2 .在四面体ABCO中,旦尸分别是AC,8O的中点,假设A8=2,CO=4,EF_LA3,那么所与Co所

12、成的角的度数为()A.90B.45C.60D.303 .三个平面把空间分成7局部时,它们的交线有()A.1条B.2条C.3条D.1条或2条4 .在长方体ABCD-AgGR,底面是边长为2的正方形,高为4,那么点儿到截面ABQl的距离为5 .直三棱柱A8C-44G中,各侧棱和底面的边长均为。,点。是CG上任意一点,连接AiBiBDiAiD,AD,那么三棱锥A1BO的体积为(6 .以下说法不正确的选项是()A.空间中,-组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形;B.同一平面的两条垂线一定共面;C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;D.过一条直线有且只有一个平

13、面与平面垂直.二、填空题1 .正方体各面所在的平面将空间分成局部。2 .空间四边形ABC。中,E,b,G,H分别是A8,8C,CD,OA的中点,那么BC与AO的位置关系是:四边形EFGZ/是形;当时,四边形EFG”是菱形;当时,四边形:FG是矩形;当时,四边形EFG”是正方形3 .四棱锥V-ABCD中,底面4BCO是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为巧的等腰三角形,那么二面角V-AB-C的平面角为。4 .三棱锥P-ABCiPA=PB=PC=73,B=10,BC=8,CA=6,那么二面角P-AC-B的大小为5,尸为边长为。的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=,那么尸到AB的距离为三、解答题6 .如图,三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形,M,N分别为PA,BC的中点.(I )求MN的长;7 .如图,在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证:(I)直线EF平面ACD;B(II)平面EFC_L平面BCD.8 .如图,平面ABEF_L平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,ZBAD=ZFAB=90,BC/7AD,G,H分别为FA,FD的中点.(I)证明:四边形BCHG是平行四边形;(II)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(

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