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1、第25讲简单的三角恒等变换思维导图题型1:三角函数式的化简考向1：给角求值简单的三角恒等变换题型2：三角函数式的求值Q考向2:给值求值考向3:给值求角题型3:三角恒等变换与三角困数的综合应用知识梳理题型归纳题型1三角函数式的化简CtCt【例11】(2020春临渭区期末)已知(0,),化简:(1+sina+cosa)(cos-sin-)2+2cosor【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果.,1xza.a.a。21。、(1+sncosa(cossin)(1+2sn-cos+2cosl)(cossin)【解答】解：(0,-),.22_=222222+
2、2cosL,八J2+2(2cosy-l)Ca.aa、a.ax_a2cos(sin+cos)(cossin)2coscosa_22222_2_coa2cos-12cos-22故答案为：cosa.【跟踪训练1-1】(2019秋淮安期末)设工效於则1+Sin2x+1-Sin2x=()42A.2sinXB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx【分析】由Jl+Sin2x+71-sin2x=J(SinX+8SX)?+/(sinx-cosx)2,然后结合己知角的范围进行化简即可.【解答】解：J42则l+sin2xJI-Sin2x=J(Sinx+cosx)2+J(Sinx-cosx)2，=sinx+co
3、sx+sinx-cosx=2sinx.故选：A.【跟踪训练12】(2019秋徐州期末)若。为第四象限角，则JE逅-JE国可以化简为()V1+sinaVl-Sina222A.B.C.D.2tanaSinaCoSaIana【分析】由a为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解.【解答】解：。为第四象限角，Il -sina Jl + sina _ I(I-Sina)2(1 + sina)2 _ 1 - sinaVI + sin a YI-Sina y I - sin2 aV 1 - sin2 acos a故选：O【名师指导】I + sin a _ _2sin asin 21 - cos
4、 a故答案为：-2.【例2-3】（2020春天心区校级月考）若为锐角，且（4cos50。-tan40。）tana = 1,则a =（）A. 60oB. 50oC. 40oD. 30o【分析】先利用三角函数公式化简4cos50。1皿40。=如，则tana =正，从而求II； Q的值. 3【解答】解：4cos500-tan400 =4sin40o-tan40o4sin40cos400-sin400 2sin80 sin(300 + 10。) 2 cos 10。一;COSlo。一争n 10。cos 40ocos 40ocos 403/32csl0-sinl0 zcos(3010) R=3= 3 ，c
5、os40ocos40o13. tan a =-= 33又为锐角,. = 30,故选：D.CCql 00【跟踪训练2-1】(2020春雨花区校级月考)-4sl0o = ()sin 10A. 1B. 2C. 3D. 2【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值.【解答】解：原式=cosl00-2sin200SinlOocos 100 - 2sin(30o-10)SinlOoGsin 10。；6SinlOo故选：C.【跟踪训练2-2】（2020春开江县校级月考）化简：CS25。-S加25。的结果为sin40osin50【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解.斛答解.csl5
6、一s?5_CoS10_CoSl0。_sin80sin4Osin50-Sin40c。S40。-Lin80。-Lin80。22故答案为：2.【跟踪训练2-3】（2020春驻马店期末）化简求值:/I、sin70+sin80cosl50（1）；cos70-sin80sinl50(II)4cos700tan200.【分析】(I)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解;(Il)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解.【解答】解：(I)3sin70+sin8ocos15sin(150-80)+sin80cos!50sin150cos80.tan45o-tan30o3c/T=tan(45-30)=i-三=2-
7、3cos70-sin80sinl50cos(i5o-8o)-sin8osin15ocos150cos8o1+tan45otan30oJJI+-l-33_o3(I)4cos700cos200+sin2002sin40o+sin20o2cos500+sin(500-300)亏sm50+cos50sin(50o+60o)v11,4cos70o+tan200=-a . a cos+ sin 22 二a . a cossin 22cos20ocos20ocos20ocos20ocos20【跟踪训练24】(2020金凤区校级模拟)若sin(4+a)=,是第三象限角，则a.aadcos+sin-.【分析】根
8、据题意可得Sina=-士，cosa=-,再化简一Z1二上里4,代值计算即可.55。cosaa.a/.a.cos+sin(cos+sin).【解答】解:22=22J+sns-sin(cos-sin)(cossin)cosa2222223,.sin(乃+cr)=-sin=-,3.Slna=一一5.为第三象限角，4 l+sina1.,.cosa=，/.=5 cosa2故答案为：2【跟踪训练2-5】(2019秋辽源期末)已知Sina是方程5-7x-6=0的根，则sin(-)sin(-cr)tan2(2-d)22=cos(-)cos(y+)cos(-a)【分析】解一元二次方程求得Sina的值，在老鹰利用
9、诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的一角函数式，可得结果.【解答】解：,sincr是方程5x2-7x-6=0的根，.sinQ=-不,33sin(-)sin(-)tan2(2-a),2.22cosa(-cosa)tana11=1=-一=-cos(-)cos(a)cosg-)sin(sin荻。)CoSal-sin2a故答案为：士*.4【跟踪训I练2-6】（2020春辽宁期中）已知一工vxv,sinx+cosx=-.25（1）求SinX-8sx的值；（2）求地型且2的值.1-tanX【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得SinX-CoSX=-J（SinX-CoS魂的值.（2）由
10、题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果.【解答】解：（1） ,己知一工xsinx,2SinX+cosx =一，平方可得 1 + 2SinCOSX=一，-居二.2sincos%=-25sinX-cosX=-J(SinX-CoSX)2=-71-2sinxcosx=_24Isin2x+2sin2x_2sinxcosx+2sin2x_2sinxcosx(cosx+sinx)_255_241-tanx1-tanxcosx-sinxL1755【跟踪训练2-7】（2020石家庄模拟）若CoSa（I+6IanI0。）=1,则的一个可能值为（）A.70oB.50oC.40oD.10【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简LI知等式可得COSa=8s40o,比较各个选项即可得解.【解答】解：,.cos(l+73tanI0o)=1,.cosa =l + 3tanl()COSI0。cosl0o+3sinl()cosl0o2sin40osin80。2sin40o=s40o，的个可能值为40.故选：C.【跟踪训练2-8(2020春浦东新区校级期中)已知角,夕W(OW)，3sin/=sin(2+0,4tan=I-tan2,则+/?=.【分析】从4ta吟=l-tan费.中解出tana,利用配角法化简3sin=sin(2a+/),即将其中的2a+
