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1、第8讲最短路径问题最短路径问题知识点1将军饮马问题（一）唐朝诗人李颂的诗古从军行开头两句说：、白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？营地B山峰A词流这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.解决办法：从A出发向河岸引垂线，垂足为
2、D,在AD的延长线上,取A关于河岸的对称点A,连接AB,与河岸线相交于C,如下图所示：营地B山峥A/!词流1rr则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C,饮马之后，再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的.【典例】1.要在燃气管道1上修建一个泵站P,分别向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹.B镇A镇【方法总结】【随堂练习】1.（2018北辰区二模）如图，在AABC中，AB=AC,AD,BE是ZkABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CPEP最小值的是（）知识点2将军饮马问题（二）【典例】1.如图,已知
3、NAOB,P是NAoB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置.（2）若OP=4,要使得APEF的周长为4,则NAOB=.【方法总结】【随堂练习】1.（2017秋北京期末）如图,NAe）B=30。，点P为NAoB内一点，OP=8.点M、N分别在OA、OB上,贝必PMN周长的最小值为.知识点3造桥选址问题【典例】【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L、L2是街道两边沿）,现准备合作修建一座过街人行天桥.天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作
4、图痕迹.（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）.【方法总结】1.“造桥选址”问题解答方法：等”来进行设计.2.勾股定理如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b ,斜边长度是c角形中两直角边的平分和等于斜边的平分，如下图所示：B炉/ a（勾）,那么ZP+b2=c2.即直角三b（股）“造桥选址”作法图形原理_L：b直线m/n在m、n上分别求点虹、X，使MVL冽，且AfN+BN的值最小.将点X向下平移R/V的长度单位得，连H3,交，？于点N，过N作NMLm于3/.、B两点之间线段最短.必介3N的最小值为a3+w.注意：如果要求架桥到两地的距离相等，则需要根据,中垂线上的点到线段两端点的距离相
5、注：勾最短的边，股较长的直角边，弦斜边.“造桥选址”问题中桥的长度的计算通常借助勾股定理来解决.（选讲）知识点4几何图形中的最短距离问题【典例】1.（1）问题发现：如图1,点A、B是直线I外的任意两点，在直线1上，试确定一点P,使PA,PB最短.作法如下：作点A关于直线1的对称点A连接AB交1于点P,则PA+PB=AB最短.（不必证明）（2）解决问题：如图2,等边4ABC的边长为4,E为AB的中点，ADBC,P是AD上一点.在图中画出点P,使点B,E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）求这个最短距离.（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么a2+b2
6、=c2（勾股定理）（3）应用拓展：如图3,角形铁架/MON=30。,A,D分别是OM,ON上的定点，且OA=7,OD=24,为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C,B,使AB+BC+CD的值最小.请在图中画出点B、Cz则此时的最小值为（保留作图痕迹，不写作法）【方法总结】问题作法图形耐ZL在/】上求点A,在乙上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于A的对称点P作PBJL乙于B,交于A.之B2点到宜线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段P弼长.三MBA为八上一定点,B为4在上求点M,在乙上求点N,使AM+MN+NB的值最小.作点A关于4的对称点A,作点B关于的对称点B连AB为2于M,交
7、4于N.B,AJA两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段AB的长.【随堂练习】1.在等边三角形ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当ZkPCE的周长最小时，P点的位置在.综合运用1 .如图，NAoB=30。，点P为/AOB内一点，Op=2018.点M、N分别在OA、OB上，则PMN周长的最小值为2 .如图,在等边AABC中，ADBC于D,若AB=4cm,AD=23cm,E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为3 .如图，铁路1的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C,使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在1的哪里呢？画出
8、你找的点C来.A*BI4 .如图，ZAOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P,P2,使得PPR的周长最小，作出点PifP2,叙述作图过程（作法）,保留作图痕迹.5 .在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马.）（保留作图痕迹，需要证明）河6 .已知点P在NMoN内.(1)如图1,点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接0G、OHxOP.若NMoN=50。，贝IINGoH=；若P0=5,连接GH,请说明当NMON为多少度时，GH=IO；(2)如图2,若NMoN=60。，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当APAB的周长最小时，求NAPB的度数.7 .如图用、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问：(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？(注：桥必须与街道垂直).(2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？
