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1、第十一讲等比数列适用学科数学适用年级高三（理）适用区域通用课不时长（分钟）120知识点1 .等比数列2 .等比数列的前n项和教学目标1 .理解等比数列的概念和性质2 .掌握等比数列的通项公式和前n项和公式3 .了解等比数列与指数函数的关系4 .能在具体的成绩情境中辨认数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的成绩教学重点等比数列与等差数列一样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活运用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具教学难点等比数列与等差数列一样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重
2、点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活运用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具教学过程一、知识讲解考点1等比数列定义讲解内容普通地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母4表示（9工。），即:0n+1:4=q（0）数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2,5,-;（留意：”从第二项起、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）考点2等比数列通项公式讲解内容等比数列通项公式为：氏=qW3（工。）.阐明：（1）由等比数列的
3、通项公式可以知道：当公比干1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若&为等比数列，则口=考点3等比中项讲解内容如果在。与。两头插入一个数G,使,G/成等比数列，那么G叫做。与力的等比中项（两个符号相反的非零实数，都有两个等比中项）.考点4.等比数列前n项和公式讲解内容普通地，设等比数列即。2吗，M，的前n项和是s”=4+%+/+勺，当#1时，Sn=叫。）或S=4；当q=l-q-q时，S=q（错位相减法）.阐明：（1）/必,S.和6,4MS,各已知三个可求第四个；（2）留意求和公式中是9”，通项公式中是夕”T不要混淆；（3）运用求和公式时4工1,必要时应讨论4=1的情况.
4、二、例题精析【例题1】【题干】“公差为O的等差数列是等比数列”；“公比为L的等比2数列必然是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是bc；a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c，以上四个命题中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】四个命题中只需最初一个是真命题.命题1中未考虑各项都为O的等差数列不是等比数列；命题2中可知出+尸a”XLatvKan未必成立，当首项a0时，anar,此时该数列为递增数列；2命题3中，若a=b=O,cR,此时有=c,但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=4Z,则成为不必要也不充分条件.【
5、例题2】【题干】命题L若数歹Uan)的前n项和Sn=an-+b(al),则数列a0是等比数列；命题2：若数歹心的前n项和SLan2+bn+c(aW0),贝|数歹Ja是等差数列；命题3：若数歹Uar的前n项和Sr=na-n,则数列aj既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由命题1得,a=a+b,当n2时，an=Sn-Sn-=(a-1)anT.若瓜是等比数列，则”二a,即丝=12二a,所以只需当b=-1ala+b且a#O时，此数列才是等比数列.由命题2得，a1=a+b+c,当n22时，an=SnSn-=2na+ba,若an是等差数
6、列，则aza尸2a,即2a-c=2a,所以只需当C=O时，数列ar才是等差数列.由命题3得，a=a-1,当n22时，an=Sn-Sn-=a-1,明显&是一个常数列，即公差为0的等差数列，因而只需当a-l0;即al时数列EJ才又是等比数列.【例题3】【题干】(I)已知数列其中c=211+3,且数冽q+l为等比数列，求常数)；(II)设a、br)是公比不相等的两个等比数列，c,m+b,证明数列q不是等比数列.【答案】(I)或尸3(II)见解析【解析】(I)解：由于*LPC,是等比数列，故有：(Gt+1-pg)=(G+2-，C+i)(CLPGLD，将G=2+3代入上式，得：2w+1+3z,+1-/?
7、(2+3)2=2w+2+3a+2-p(2+,+3+i)2+rp(2111+31),即(2-p)2n+(3-p)3勺2=(2一夕)2小+(3一夕)3f(2-p)2p1+(3-p)3i,整理得，(2一夕)(3-p)23=0,解得尸2或尸3.6(II)证明：设4、bfl)的公比分别为2、0pq,Cka共bn.为证q不是等比数列只需证c22c1C3.现实上,C22=(apbq)2=ap+bqz+2abpqfCiC3=(句+A)(2pq9又4、打不为零，因而c1c3,故q不是等比数列.【例题4】【题干】如图，在边长为/的等边阿中，圆为44?C的内切圆，圆与圆外切，且与力反勿相切，圆时与圆功外切,且与力反
8、区相切，如此无量继续下去.记圆。,的面积为为(7f),证明4是等比数列；【答案】见解析【解析】证明：记”为圆。，的半径，则r=-tan30o=/.=sin30o=,所以rn=-r-2623因而国二万亓二之与=(二)2=L故a成等比数列.12*9【例题5】【题干】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求本来的等比数列.【答案】2,6,18或2,.999【解析】设所求的等比数列为a,aq,aq2；贝J2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2,q=3或a=,q=-5
9、；故所求的等比数列为【例题6】【题干】已知正项数列,其前项和S”满足10S=+5%+6,且冯，仆成等比数列，求数列也的通项明【答案】an=511-3.【解析】丁IOS=力方4610a1=a12+5a+6,解之得a1=2或a=3.X10Sn-=an-2+5an-+6(n2),由一得IOan=(an2-an-12)+6(an-an-),即(ada-)(a11-a15)=0Va11+an-O,an-an-=5(n2).当a=3时,a3=13,a5=73,aba%由5不成等比数列.a3;当32日寸,a：j三12,a15=72,有a?=a【ai5,a尸2,a11-53.【例题7】【题干】设4为等差数列，
10、ZU为等比数列，a=l,&+a=A,bzb=孤.分别求出an及bli的前10项的和SO及710；【答案】SO=IOal+id=-当q=也时，2825 WQ+1一夕当k-4时，k与心=某2-扬.2-q32【解析】（1）为为等差数列，ZU为等比数列,Qi+42&9bzb,&已知&+3=2&,=&得%=2bV30.bi=,a=1.24由a=1,&=知a的公差为d=-,48C-I109,55.So=IOai+d=.28由4=1,A=L知J的公比为Q=孚或Q=-g222当。=孝时，3半心=部+扬，2-q32当7时，y华心=部-扬.21-q32【例题8】【题干】在1与2之间插入个正数Bfl【解析】设公比为S公差为匕等比数列L句，及，当，2,等差数列1,b,b29，bn,2.则4=a=lqJ2-Iq1/4=11Bn9当时证明：当=7时，235=841=Ar,Bn=-1,.Af,Br2设当=4时，AnB,则当=4+1时，Ak+l=2ri33=2+2a+,22乂.4h=2*Bk+=k且氏：.Ak+yfik*力+1-Bk+1V2,-kk=(V2-1),一k22222又：k=8,9,10-A+1-+10,综上所述，4见成立.【例题9】【题干】已知公比为夕(Oq).(必要性)由于办=一G0(7=l,2,3,所以4=用+dW%
