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1、尖子生培优同步提升第一讲集合一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.设集合4=l,b,B=ata2,ab,若4=B,则。2。23+/。23的值为()A.0B.-lC.-2D.0或一1【答案】B【解析】【分析】本题考查集合中元素的互异性，考查分类讨论思想，考查计算求解能力，属较难题.令M=1或Qb=1分类讨论即可.【解答】解：集合A=l,b,B=(a,a2,ab,若A=8,由集合的互异性知Q1,则小=1或皿=1.当Q=-I时，A=l,a,b=1,-1,b,B=(a,a2,ab=-l,l,-b,有b=b,得b=0,所以q2023+h2023=(_1)
2、2023+02023=.当b=1时，集合A=1,a,b,B=a,a2,ab=ata2,1,有力=2,又b=L,所以q2=L,得Q=1,不满足题意.aa综上2023+b2023=-1.故选B.2定义集合AOB=1卜=VI+b2,a4b8卜若4=n,-l,=2,l,且集合AoB有3个元素，则由实数九所有取值组成的集合的非空真子集的个数为()A.2B.6C.14D.15【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的新定义，集合中元素的性质，分类讨论，结合集合中元素的互异性即可求出实数九所有取值组成的集合为0,然后求出非空真子集的个数，属于较难题.【解答】解：根据题意：当Q=-1,6=1时，X=2,当=-l
3、,b=3时，x=3,当=n,b=!.时，X=n2+1，当=n,力=时，X=Vn2+2又因为AoB有3个元素，且112+2V/2+1,当112+2=时,n=0,则4。8=，门,1满足条件；当112+2=时,n=1,又因为A=n,-1,根据元素互异性,则n=l,AO8=I不符合题意，当M率T=JI时，n=l,又因为A=n,-l,根据元素互异性,则n=1,AQB=不符合题意，当112+1=时，n=+2,当九=。时，AoB=I,I,2满足条件：当九=-I时，AO8=M,1,2满足条件；所以实数n所有取值组成的集合为所以实数n所有取值组成的集合的非空真子集的个数为23-2=6,故选艮3.已知集合A的关系
4、是OD=xx =，一,m Z, C = xx = + -,n ZJ,则集合48,C()A.A曙C墓BC.AC=BD.ABC【答案】C【解析】【分析】本题考查子集与真子集，属于基础题.由题得kZ时，6k+l表示被6除余1的数，mZ时，3m2表示被3除余1的数，nZ时，3n+1表示被3除余1的数，即可得到答案.【解答】X 3 = k 1 -6 +集合B=xx=/-g,nZ=xx=3y2,mZ,集合C=xx=+Z=xx=深。,九Z.因为kZ时，6k+1表示被6除余1的数，mZ时，3m-2表示被3除余1的数，nZ时，3n+l表示被3除余1的数，所以4泉C=B故选C.4 .设a、瓦C是两两不相等的正整数
5、.若+b,b+c,c+a)=n2,(n+I)2,(n+2)2)(nN+),则M+b2+/的最小值是()A.100OB.1297C.1849D.2020【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设Qbc,判断/，5+1)2,5+2)2三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力.不妨设Qbc,则Q+ba+cb+c,根据集合相等的定义可得b+c=n2,a+c=(n+I)2,a+b=(m+2)2,分析可得(0+b)+(b+c)+(q+c)=2(a+b+c)为偶数，从而可得可得n为奇数，再分析计算即可得出答案.【解答】解：不妨设Qbc,则a+ba+cb+c,
6、因为a+b,b+c,c+q=n2,(n+I)2,(n+2)2)(nN+)t所以b+c=n2,a+c=(n+I)2,a+b=(n+2y)2f因为(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+C)为偶数，所以建2,(九+1)2,(九+2)2必为两奇一偶，从而可得n为奇数，又因为b+c2,所以n为不小于3的奇数，若n=3,则q+b,b+c,c+q=32,42,52,故a+b+c=*32+42+52)=52,且a+b=52,所以c=0,不符合要求，若n=5,Wb,bGc+=52,62,72),(+=72(a=30故Q+c=6?,解得b=19,b+c=52(c=6此时，a2+炉+2=302+192+6
7、2=1297,所以M+垓+c2的最小值是1297.故选：B.5 .对于任意两个正整数m,n,定义某种运算.,法则如下：当n,九都是正奇数时，Tn派n=nn；当m,n不全为正奇数时，相n=nn,则在此定义下，集合M=(,b)0Xb=16,N*,bN*的真子集的个数是()A.27-1B.211-1C.213-1D.214-1【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合关系的判断，结合题意正确理解所给的定义，然后运用分类讨论的思想进行列举求解即可，【解答】解：由题意，当n,九都是正奇数时，nn=7n+n；当n,n不全为正奇数时，Tn派n=mn；若Q,b都是正奇数，可得q+6=16,此时符合条件的数对
8、为(1,15),(3,13),.(15,1)满足条件的共8个；若,b不全为正奇数时，可得b=16,则符合条件的数对分别为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)共5个；故集合M=(,b)0Xb=16,qN*,bN*中的元素个数是13,所以集合M=(,b)Xb=16,QN*,bN*的真子集的个数是2塔-1.故选C6 .对于集合A,B,我们把集合xxA且CB叫做集合A与B的差集，记作A-8.若集合P=yy=*,%,集合Q=QI/+(-1)X-QVo,且P-Q=0,则实数0的取值范围是A.O,)B.(O,)C(,+8)D(-8,-g【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的新定义
9、问题，由基本不等式求最值或取值范围，解含参的一元二次不等式先结合差集的定义，由P-Q=。得PGQ,再利用基本不等式化简集合P,分类讨论Q的取值得到集合Q,从而利用集合的包含关系求得Q的取值范围.【解答】解：根据差集的定义，由P-Q=。可得PGQ,X1因为o,y=ET=声，人1xX-X又因为+32jTW=2,当且仅当=%即=1时，等号成立，所以OVa4,即OVy=高同，故P=y0y3由/+(l)a0得(+)(x-1)l,即QV-I时，上述不等式解得IVXa,即Q=%1V%V,显然此时集合P,Q没有任何包含关系，不满足题意；当一=l,即=-l时，上述不等式化为(-1)2-l时，上述不等式解得一QV
10、X因为m,Z,所以等Z,匕炉WZ,所以石=10+8b,a,bZ,所以修B,任取小B,m=Ioa+Qb,a,bEZ,x2=6a+4(+2b),bZ,Q+2bZ,所以应4,所以A=8,故选A.8 .集合M=xx=2k,kZj,N=xx=2k+l,kZ),O=xx=4k+ltkZ,则对任意的mM,neN,oE0,有下列四种说法：mnO;m+nO；o-mN;onO,其中一定正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查元素与集合的关系，较难题.根据集合M,N,。中元素的性质，分别判断nn,n+n,o-m,on,即可得出结论.【解答】解：因为m=2ki，n=2k2
11、+1o=4k31,k1,k2,k3Z,所以Znn=2k1(2k2+1)=2(2k1k2+k1)f且2自2+自WZ,所以mnM,nnC。；又m+n=2(c1+七)+1N,又自+七不一定是2的倍数，所以m+n不一定属于集合0；因为Om=2(2七k)+1且2Z3七EZ,所以O-mWN；因为。n=(4fc3+l)(2fc2+1)=2(4k2k3+k2+2k3)+1，4&七+&+2k3Zt所以。nN,又4七43+七+2向不一定是2的倍数，所以On不一定属于集合0.所以只有一定正确，则一定正确的个数为1.故选A.二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)9 .已知集合A=O,1,B=o2,2,其中qR,我
12、们把集合工忱=与+小,】A,q8记作力*B,若集合4*8中的最大元素是2。+1,则的取值范围是.【答案】OVaV2【解析】【分析】本题考查了集合和解不等式的知识，注意对新定义的理解.根据题意可知集合4*8中元素，然后由2+l为集合A*8中的最大元素，列出不等式即可求出.【解答】解：由题意可知集合A*8中的元素可能包含a2,2,a2+1,2l,显然M+12,2+12a,a22a,212+1,故集合A*B中的最大元素为20+1或a?+1,且2121.2a+1为集合A*8中的最大元素，可列不等式2q+1q2+1,解不等式得OVQ2,故答案为：0QV2.10 .设集合A=r1,r2,l)1,2,3,37,且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为【答案】17【解析】【分析】本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数，属于困难题.由已知中4G1,2,337),且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据137中各数除
