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1、第3讲平面向量的数量积及应用*Ut为土l.2024武汉部分学校调考两个单位向量均与e2满足ee=O,则向量e-Ie2与2的夹角为(D)A.30oB.60oC.120oD.150o解析解法一因为e,e2是单位向量，所以Iell=Ie2I=1,又ee=0,所以(e-75e2)32=一V3,(e-73e2)2=25ere2+3戚=1+3=4,所以Ielv2I=2.设e-3e2与殳的夹角为仇则cos0=%因为Ie1-3e2IIe2I20o9I80o,所以8=150.故选D.解法二因为e,及是单位向量，ee=0,所以不妨设e=(1,0),e2=(0,1),所以eiWe?=(1,0)V3(0,I)=(1,
2、-V3).设幻一百e2与e2的夹角为仇则COs。=1要：2)七2=2夕)(0.1)=一”因为0。学180,所以8=150.故选D.GFezgezIJ-f92-2 .2024安徽六校联考已知向量而，且I1|=II=1,I3m2nI=7,则向量/在向量上的投影向量为(C)a0B1C.3Dl)解析由I3m2I=V7,得I3m2nI2=(.3m2n)2=9m2+4n2-12w=7,又m=n=1,所以9+412m=7,整理得m=:,因为V,n三0,兀,所以加，的夹角为:，所以向量雁在向量上的投影向量为I.故选C.3 .2023吉林长春质监己知向量。与。的夹角为60。，Ial=2,Ibl=L则I。-28I
3、=(C)A.lB.8C.2D.23解析解法一ab=III力Icos60o=2l=1,所以Ia2bI2=a2-4ab-4b2=4-4l+4=4,所以Ia2bI=2,故选C.解法二如图所示，记65=,OB=bf则NAoB=60.延长OB到C,；使沆=2方=2瓦因为I0I=2,IbI=1,所以I画I=I沆I=2.连接AC,则OAC为正三角形，所以Ia2bI=IE5I=2,故选“z三1l,则。与6夹角的取值范围是(B)A.0,5)B.0,争C.(pD.(y,解析解法一设单位向量%b的夹角为。，则夕0,将Ia+I1两边同时平方得标+2。仍+X,化简得2+2cosl,即cosO-g,又因为。W0,所以04
4、l成立；当分0时，如图所示，令瓦?=*OB=bt以QA,OB为邻边作J少/平行四边形OAC8,则0?=+瓦设NAOB=/因为%b均为单位/J向量，所以平行四边形OACB是边长为1的菱形，在，从0增大到Tr的过程中，I沉|一直在减小，当1=1时，4aoc为等边三角形，此时e=g,故ovovg.综上可知，09=SinVb,c,则/=(B)A.-lB+1C.2D+2解析Va=(1,O),b=(O,I),c=a+b,*c=(1,/),又SinV,c=SinVb, c,cos=cos,而 COS =vT+Pl=f,即/=1,故选B.6.多选已知向量=(1,sin9),b=(COS仇2),则下列命题正确的
5、是(BD)A.存在仇使得。方8 .当Ian6=一苧时，。与8垂直C.对任意仇都有IIrI力ID.当。力=一5时，。在b上的投影向量的模为券解析对于A选项，若。b,则IX或一sinOcosO=O,又因为SineCOSe=夫山2J一/1,所以方程lx-sin和OSe=O无解，即不存在仇使得。仇所以A不正确；对于B选项，若a_Lb,则cosO+sinJ=O,即tan。=一4,所以B正确；对于C选项，Ial=l+sin20,IbI=2+cos2,当，=轲，Ial=Ibl=2,所以C不正确：对于D选项，ab=cosV2sin=3sin(8+)=3,其中sing=g,cosp=*所以8+e=2k一*kZ,
6、所以IbI=2+cos20=12+：=焉。在b上的投影向量的模为I-rrTI=I番XT彳I=所以D正确.故选BD.IbllalZIaI739 .已知向量。与b的夹角为三，且Ial=1,I2a-bI=3,则IAI=1.解析I2abI2=(2ab)4aI2-4Iallblcos+IbI4一2IbIIZI2=3,解得Ibl=L10 已知非零向量孙满足4ImI=3II,COSV?，=，.若_L(0+)，则f=_-4.解析由_L(/n+)可得他(m+t)=0,即向m+序=。，所以，=_2_=mnn2_InI2_3InI-34-4ImIInIcosImlXlnlXgImI311 2021新高考卷H已知向量
7、+c=O,Ial=1,I5I=ICl=2,ab+bc+ca=_解析(”+力+c)2=02+ft2+c2+2(力+c+bc)=0,因为Ial=1,IAl=ICl=2,所以A+c+bc=12 .已知单位向量b满足I。-25I=3ab,则向量”,b夹角的余弦值为解析设出的夹甫为，将Ia25I=3b两边同时平方得9cos2，+4cos95=0,解得COSe=:或Cos。=1.由Ia2。I=3b可知。为之0,所以COS电0,所以COSe=|.13 .2024山东日照联考如图，在边长为2的等边AABC中，点E为中线30的三等分点(靠近点8),点尸为BC的中点，则而.定=(B)ATB.-142C-D-V，4
8、口，2解析解法一由题意，以点。为坐标原点，DA,而的方向分别为X,)，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则。(O,O),C(1,O),B(O,3),E(O,),F(-1,步，则而=0,泠，FC=(-p-y),FFFC=(-)(-y)=-p故选B.解法二:定=：近，FE=BE-BF=BD-BC=(BA+BC)-BC=-BA-BCt2326263FEFCBC(,-BA-BCy)=-BCBA-BC2=22cos-22=故选B.2631261236212.角度创新已知向量=(1,2),b=(-2,1),k三R,b的夹角为仇若存在实数m,使得IbIcos0,则机的取值范围是(C)A.(oo)B.(0oo)
9、C.(8,-)D.(00,-)52解析由IbIcos0,n0,则ni(甲)max.因为6=2+2,所以(ab)max=2,故小0),IC4I-ICSI=6,BA=IADIIACI14,设瓦5=0,则丽在。上的投影向量为(结果用带。的式子表示)解析如图，连接AE,因为Co是AABC的一条角平分线，且丽一CBA=AE=(-4-+-)Q0),所以AE也是ABC的一条角MDlACI%.平分线，所以E为AABC的内心.作ABC的内切圆，切点分别为M,Q,N,并连接EM,EQtEN,则由内切圆的性质可得，IACl-I8CI=IAMII8Nl=IAQlIBQl=6,又IAQI+IBQI=14,所以IBQI=
10、7-3=4,所以屁在”上的投影向量的模为4,则屁在a上的投影向量为/=,15.骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆。(后轮)的半径均为5,AABE,ABEC,AECO均是边长为4的等边三角形.设P)E5为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，前而达到最大值时，点尸到地面的距离为(B)a3d33A-B.22C.+3D.y+3解析如图，以。为坐标原点，AQ所在直线为X轴建立平面直角坐y标系，则A(-8,0),C(-2,23),圆。的方程为x2+y2=3.-2W所以可设P(3costt,3sin),02,所以近=(6,23),CP=(3cos+2,3sina23),所以我而=65cos+12+6sin12=63cos+6sina=12sin(),当夕+；=，即时，4CCP取得最大值，此时点P(1,耳)，点P到地面的距离为4+75=当，故选B.
