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1、重难点5数列通项公式的求法数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。题型1观察法求通项题型5构造法求通项题型2由Sn与an关系求通项C_、K/题型6倒数法求通项数列通项公式的求法题型3累加法求通项1/V7题型7三项递推关系求通项题型4累乘法求通项一/题型8不动点法求通项【题型1观察法求通项】满分技巧已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.【例1】（2023河北张家口.高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列l,367,3,iT,5!
2、J43是这个数列的（）A.第21项B.第22项C.第23项D.第24项【答案】B【解析】由题意可得数列的通项公式为4=后工，又回=72-1,解得=22,所以屈是这个数列的第22项.故选：B.【变式1-1（2023内蒙古通辽高三校考阶段练习）数列04,0.44,0.444,0.4444,L的一个通项公式是an=（）【答案】C【解析】因为数列9,99,999,9999,L的通项公式为10-1,则数列Q9,0.99,0.999,0.9999,L的通项公式为击（KrT）=I一击，4而数列0.4f0.44,0.444,0.4444,L的每一项都是上面数列对应项的,，所以数列。4,0.44,0.444,0
3、.4444,L的通项公式为部故选：C.1357【变式1-2（2023.河南.高三校联考期中）数列不，-亍弓，-白，的一个通项公式为（）24SIoA . (T)2n-l2/7(-f,2/1 12nJ(T)与(-f,2n-l2”【答案】DIQC7【解析】设该数列为&，ax=-,2=-,fl=-,4=-.24OIo选项A,ai=,不满足题意，故A错误；选项B,a3=,不满足题意，故B错误；选项C,%=-1,不满足题意，故C错误；1357选项D,%WM=/LI，均满足题意故选：D.【变式I-3J（2023全国高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项可能是（）/n-
4、为奇数,nnzA%=（-l）+1Ba*”为偶数C.an=2sn-D.q=cos（一l）+l【答案】ABD【解析】对于A,当为奇数时，4=2,当为偶数时，q=0,故A中通项公式正确；对于B显然正确；对于C,当=3时，能=-2,显然不符合；对于D,当为奇数时，4=2,当为偶数时，4=0,故D中通项公式正确.故选：ABD.【变式1-4】（2023四川成都石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的解析九章算法中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个，则第三十六层球的个数为（）A.561B.595C.630D.666【答案】D【解析
5、】由题意,第一层1个球，第二层1+2=3个,第三层1+2+3=6个，第四层1+2+3+4=10个,据此规律，第三十六层有小球1+2+3+36=36x（；+36）;666个.故选:D【题型2由SIl与an关系求通项】满分技巧若已知数列的前项和Sn与对的关系，.S1,5=1）求数列q的通项4可用公式4构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一即4和凡合为一个表达，（要先分=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.XS2-2Si=(,+o2)-23=0,所以5,=25,2,3,n = l? ,?32rt-2,w2又Si=0=3,所以数列
6、Sj是以3为首项，2为公比的等比数列，所以S,=32,1时，q=S=3,“2时，atl=Sn-Sn32n-2,S5=4+a+3+4+%=3+3+6+12+24=48l故选：D.变式2-3（2023四I卜校联考三模）已知数列j满足2q+2?%+2”+2nan=小2，则4的通项公式为（）口,=1/1+1CC口,=1A可寸+12B0.D.。刁_心2【答案】B【解析】当=1时，有24=12,所以4=1,当2时，由2+22%+23%+2Z=2,21+22+236+211,=（h-1）211,i两式相减得2工=加2”-5-1）2T=e+l）2i,此时，=等，6=1也满足，所以的通项公式为=等.故选：B.N
7、,且数列也一如【变式2-4（2023.全国.模拟预测）已知数列q满足自+/+券+货的前项和为S-若S”的最大值为邑。，则实数k的最大值是【答案】40482023【解析】因为含+墨+含+货，即2。4+24+224+2”“=”，当2时，2q+2%2+22/+2T=(一).2,两式相减得2”=小2向-(-1)2=(1)-2，所以凡=2+2,(n2),又=4满足%=2+2,所以z=2+2,(WN),bn=an-kn=(2-k)n+2+l-=(2-k)(n+)+2-(2-k)n-2=2-k,显然数列a是等差数列，若3的最大值为$2023%3=2023(2-幻+202025404824=2024(2-A)
8、+20舲得1012一2023所以实数%的最大值是40482023【题型3累加法求通项】满分技巧适用于%+=%+fm),可变形为an+-an=f(n)利用恒等式an=a+(a2-Oi)+(S-az)+.+(an-a11-)(n2fnN，)求解【例3】(2023福建高三校联考期中)已知数列也满足勺-%产篝,且生=T,若%=16外，则正整数攵为()A.13B.12C.11D.10【答案】B【解析】4+=等*,故3-5=白，出=,故q=-；，乙11Iun乙乙故4=-2-2,4 = 164 , gp-2=-1626=-2, ,故2 = 10 ,解得A = 12故选：B【变式3-1】(2023广东佛山高二
9、佛山市荣山中学校考期中)已知S”是数列凤的前项和，q=l,SH =等。一则仅“的通项公式为()A . an = 2n-lB.n=llC.q,=3D. an=2n-【答案】B【解析】由S等为得S-=七/,”2,N两式相减得：SfJT=等4一等凡T即可n+2n+_ n -1 即于凡tan n + 一-n- , BP- = TTT，22,eN .5% -13 所以T=T& = 21an- -1a, a. a, 相乘得：% 3 4 5n + = 一 一 .I % 1 2 3 n- ,即,因为6=1 ,所以a = ；) , W2,WeN Cl I - 22当 =1 时，t71 =-H = l , an=
10、,ntE： B乙乙【变式32】(2023.山西.高三校联考阶段练习)在等比数列-见中，q=lq=0，% = 2 ,则【解析】设等比数列/4的公比为夕，2因为%=T,%-=2,所以4=-=-2,所以向一q=一(一2)Z,则当 2时an-a =a2-al+a3-a2 +一口一(-2严(一2尸-11-(-2)-0产.又4=他满足。”且产，所以凡二攵于【变式3-3】(2023上海普陀统考一模)若数列4满足e=12,an+i=an+2n(nl.nN),则皆的最小值是.【答案】6【解析】由已知出一4二2,ay-a2=4.,an-an=2(w-l)fn2,所以4=4+(。2-4)+(。3一“2)+(6,n-
11、fln-)=12+2+4+2(-1)=12+(-1)=/-+12,n2l又4=12也满足上式，所以q=/-+12,an2-+12121nnn12设F(X)=X+-1,由对勾函数性质知/(K)在(0,2J)上单调递减,在(2IKO)递增，X因此与在3时递减，在4时递增，n又胃=3+-1=6,=4+-1=6,所以%的最小值是6.3344n【变式34】（2023北京高三汇文中学校考期中）已知数列%满足4=1,a2n=n+,1=+.1rwN则集合mam20中元素的个数为.【答案】24【解析】由题意得/“+1-/小=%”=+1,N所以%T=(r+l-1)+(1-%-3)+(3-4)+4=(+.(+I)_
12、+3/7+2_(2n+l)2+4(2+1)+3=I28又=+=+ ,所以为N* ,+1,(为偶数)+4+3/U士哈、-,(为奇数)O当为偶数时，令+l20,解得38,当为奇数时，令+?土3120,因为函数V=Wl誓2的对称轴为=_2,OO当=9时，zr+2+3=1520,所以9,88综上可得集合am20中元素的个数为y+=24.【题型4累乘法求通项】满分技巧_On+1适用于an-t-=f(n)an,可变形为-二加)要点:利用恒等式。n=谭詈j-(产O，n2,dN*)求解Gl02Qn-I【例4】(2023.全国高三专题练习)已知4中，且=2,求数列通项公式.4【答案】二许【解析】数列叫中，,4=
13、2,显然产0,当2时，9=合，十/%_十1,%an今1234-4一3一2一14WT%,二=2号屋二.p二丁丁而刑，4=2也满足上式，所以数列4通项公式是。二丽而.【变式4-1】(2023.山东青岛高二青岛二中校考阶段练习)若数列q满足(-1)4=5+1)gt52),6=2,则满足不等式4,930的最大正整数为()A.28B.29C.30D.31【答案】B【解析】依题意，数列4满足(-1)%=5+1)%52),4=2,凡“+1/、7a”c345nn+/、=(2),所以4=41一=2-=w(+1),%n-ala2an_xI23n-2n-q也符合，所以q尸5+1),qj是单调递增数列，由q,=(+1)930,(+31)(-30)0,解得-31v30,所以的最大值为29.故选：B【变式4-2】(2023河南模拟预测)已知数列勺满足L=2，6=1,则外通=()an+nA . 2023B . 2024C . 4045D . 4047【答案】C【解析】产JL=2，an+t-an,即
