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1、“概率与统计”大题规范增分练1.(2023常德二模)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A,8,C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：班级二三四人数3234(I)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；(2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A,8两款软件学习的概率都是看且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为前求4的分布列和数学期望.解：(1)由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C彳2
2、=66种可能情况，记“这2人恰好来自同一班级”为事件A,则事件A包含的可能情况有CS+G+G+G=31+3+6=13种，13所以P（八）=*.(2)由题知，。的可能取值为0,1,2,3,因为选A,8两款软件学习的概率都是看且他们选择A,Bt。任一款软件都是相互独立的，所以他们选择C款软件学习的概率是1一1一卷=多所以Pe=O)=CPe=I)=C嗡G)2=摄PG=2)=cW)W=另=*%=3)=啕心吟所以的分布列为0123P12729498272所以E(=3Xg=2.2.(2023荷泽一模)为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A,B,C三种农作
3、物(该试验田每次只能种植一种农作物)，为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植A后会有上的可能性种植B,亨的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为：，种植C的概率为本在每次种植C的前提下再种植A的概率法，种植8的概率稿.(1)在第一次种植8的前提下，求第三次种植A的概率；(2)在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望.解：(1)设4,Bi,G表示第i次种植作物A,B,C的事件，其中i=l,2,3.323在第一次种植8的情况下，第三次种植A的概率为P(A3)=P(C2B1)P(A3C2)=5=7.(2)由已知条件，在第1次种植A的前提下：113
4、P(B2)=予P(A3IB2)=4P(C382)=4,223P(C2)=yP(A3C2)=5,P(&|C2)=于因为第一次必种植A,则随机变量X的可能取值为1,2,323113P(X=I)=P(C2B3)+P(&C3)=P(B3|C2)P(C2)+P(C3|B2)P(B2)=5X?+ZXl=而，P(X=I)22117=P(C2A3)+P(B2A3)=P(A3C2)P(C2)+P(A382)P(B2)=5X?+ZXI=而，所以X的分布列为X12P1320720E(X)=1j+22=20.3.某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品
5、的关键指标(单位：Cm),经统计得到下面的频率分布直方图：频率/组距3.53.02.0-10.750.850.951.051.151.25关键指标/cm(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数；和方差/；(用每组的中点代表该组的数据)(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N，2),用直方图的平均数估计值T作为4的估计值)用直方图的标准差估计值S作为的估计值;为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了33+3。)之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键
6、指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用1和;判断该生产周期是否需停止生产并检查设备；若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在Q-3o,+3o)之外的零件个数，求?(X21)及X的数学期望.参考公式：直方图的方差s2=2(f-7)2pj,其中方为各区间的中点，Pi为各组的频率./-I参考数据:若随机变量X服从正态分布M4,2),则P(-3Xjw+3)0.9973,0.011M).105,0.0120.110,0.997390.9760,0.9973,00.9733.解：(1)由频率分布直方图，得；=0.8X0.1+0.9X0
7、.2+1X0.35+1.1X0.3+1.2X0.05=l.?=(0.8-l)20.1+(0.9-l)20.2+(l-l)20.35+(1.1一l)2O.3+(1.2-l)20.05=0.011.(2)由(1)可知=1,=0.0H0.105,AAA所以-3。=1-0.315=0.685,jw+3=lO.315=1.315,显然抽查中的零件指标1.331.315,故需停止生产并检查设备.抽测一个零件关键指标在a一35+3之内的概率为0.9973,所以抽测一个零件关键指标在(z-3o,+3o)之外的概率为1-0.9973=0.0027,故X8(10,0.0027),所以P(X21)=1-P(X=O)
8、=1一0.99730%1-0.9733=0.0267,X的数学期望E(X)=IO0.0027=0.027.4.(2023南京三模)设22,N,甲、乙、丙三个口袋中分别装有一1,Zb+1个小球，现从甲、乙、丙三个口袋中分别取球，共取出个球.记从甲口袋中取出的小球个数为X.(1)当=5时，求X的分布列；(2)证明：c2ccicl+-+cx=c;n1(3)根据第(2)问中的恒等式，证明：E(X)=-.解：(1)当=5时，甲、乙、丙三个口袋中小球的个数分别为4,5,6,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,汽丫_田_生_2pf-n.m,40P(X-O)-5一P(XT)_Cf5_91P(X=2)=C
9、jCii_30C?59PP(X=3)=273由组合数的性质可知，当OWAW且kN时，Cj=C2N),P(X=4)=i=5,根据分布列的性质可知Fc,pck moLO=1,CC为20所以dc,cicL+-+c=c.1.O(3)证明：由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,，77-1,CgTCy飞1随机变量X的分布列为P(X=k)=7(OWkWl1,kN),山一叶Lrk(-1)!(-1)(，?-2)!当2九2-1一线！(_)!一伏_)!(一&_)!5DC,则Em=hP(=k)= 侬-0济*=oJt=O= (NA=IM-2=m=0(一I)CAC 觉CX设一批产品中有3一1(22,N)件产品，其中有一2件次品，2+1件正品,从中抽取一1件产品，其中次品的件数记为乙则4的可能取值有0,1,2,，n-2f根据分布列的性质可得n-2V,i11m2-Cn-2C2j+3n/j、_”=()P(Am)-r,-MJ-OL3T”-2所以EC-2CKm,=C?;-*1,m=0n-2因此，E(X)=WJ=O(一1)0a(-1)C岸I(一)(3)!(2)！一(一1)!(2)!(3)!-=-
