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1、专题跟踪检测(二十三)圆锥曲线中的最值、范围问题点停啜1.(2023广州模拟)已知椭圆C：5+W=l(bO)的离心率e=坐，且过(1)求椭圆C的方程;(2)如图，过椭圆C的右焦点尸作两条相互垂直的直线A8,QE交椭圆分别于A,B,D,E,且满足AaJ=2A、,Dq=2)1,求AMNF而积的最大值.a2=2b2f解：(1)根据条件得13解得=212=1,所以椭圆C：方+/=1，+y2=i(2)根据兀O=IT才，万犷=IT范可知，M,N分别为4B,DE的中点,且直线A8,DE斜率均存在且不为0.现设点Aa1,y),8(X2,”)，直线AB的方程为x=my+l,不妨设加0,联立椭圆。得(w22)j2
2、2my-l=,得y*+j2=-,-1+x2=+,y2)2=,则M,混)，MF=局评+ZH2+2,所以aMN户的面积Smnf=MFNF=-7.令=w+22,V2那么Sf=42J_2=%W/,所以当/=2,?=1时，AMNF的面积取得最大值4r+?22.己知双曲线C:-p=i0,力0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点尸作垂直于X轴的直线交。于8,。两点，且AABO是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)M,N是C右支上的两动点，设直线AM,AN的斜率分别为h,比，若攵浅2=2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.解：（1）依题意，/840=90。，焦半径c=2,Z?2由A尸=BF,得+c=,得
3、居+2=22/,解得=l（其中=一20Gnm3(一1)3w2-1, yiy2= 3n2-由kk-2fyj22(x+l)(x21)=0,即y+2(mynl)(wy2+1)=0,整理得(2户+1加)空+2皿+1)(),+y2)+2(+1)2=0,3(rr-)(2nr+1)-12rrnn+1)+2(+l)2(3w2-1)=0,化简得“24-5=0,解得=5或n=1（舍去）,则直线MN的方程为Xw-5=0,得d=.7W+1又M,N都在双曲线的右支上,故有3/?1VO,0忘620.（1）求XX2的最小值；（2）求窗的取值范围.解：（1）对函数y=x2求导得y=2,所以抛物线G在点4处的切线方程为y-y=
4、2x（xxi）,即y=2xX-.y=2x-?,联立，2+上_得(1+8Jrf)X2-8XiX+2xf-2=0,所以J=64xt-4(1+8xS)(2xf-2)0,解得Orf2r2xv=2,当且仅当即=：时取等号.所以即一M的最小值为2.(2)记点O,B到直线/的距离分别为小，J2,所以尸谭君,必=/3W+因=m(ii)所以端(=今r4因为0R万，所以犒=说4。,)所以曲的取值范围为(0,今).v224. (2023辽阳模拟)已知椭圆C5+%=l(b0)与)，轴交于A(0,b),8(0,一力两点，椭圆上异于A,8两点的动点。到A,8两点的斜率分别为21，近，已知南依=/(1)求椭圆C的方程;(2
5、)过定点G(1,1)与动点。的直线，与椭圆交于另外一点H,若AH的斜率为如求女2+依的取值范围.解：(1)取。(xo,和)在椭圆上,.2C/焉)。一.加+：此一4又,黑顺，近一xo焉1,把bo+一14b1W=次2=丁.烦=-=-=-,.b=,椭圆。的方程为j+y2=l.4J(2)当直线Go的斜率存在时，ys设直线GO的方程为y=履+攵-1=AX+，*其中机=k1.一一将直线方程代入2+4y2-4=0得，(142)x2Shnx4m24=0.VJ=64-4(4Arl)(W-4)=642+16-16m2=16(32+2)O,2-8km4?2-4.Q0或取。(X0,o),H(X1,y)为交点，.沏+x
6、=4F+,Xg=不可丁噌=+三l=2lLl)三=2k+(L8km2km1)4加4=2L汴7=2-2切=2,：.ky=2-ki.又“很2=1,上+上=2一古一岛.取以)=2一七一x(xO),：,/ (x)=4?(1-2)(1+2v)=4x2令/令0,解得(TO)U(O令/o,解得x(-8,OUQ,+8),.j(x)在(一8,一令，Q,+8)上单调递减，在(一o),(o,；)上单调递增.又-0=3,(ZQ)=I,府)的值域为(-8,1U3+),即42+A3的取值范围为(一8,lU3,+00).当直线GQ的斜率不存在时，则BQ,AH关于X轴对称，则心+依=0.综上，依+依的取值范围为(-8,1UOU3,+).
