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1、专题跟踪检测(六)数列求和及其综合应用1.(2023全国乙卷)记S为等差数列小的前项和，已知6=11，So=4O.(1)求”的通项公式；(2)求数列|%|的前项和Tn.2=m+d=ll,解：(1)设面的公差为4则。n仙ISio=IOal+454=40,解得m=13,d=-2.所以斯的通项公式为由=13+(-1)(-2)=I52几15一2%7,由得I*=C2一15,28.当w7时，,n(n)C=13+2(2)=14一2,当w8时，7:,=7+l3+5+(2zz-15)=+l+3+5+2(w-7)-l=147_72+(-7)1+2(-7)-1=98_|4”+214n I3. （2023新课标I卷）
2、设等差数列传的公差为d,且dl.令儿=J设S,” 7；分别 为数列小, 儿的前项和.,7,综上，7/=I_98-14+w2,“28.2.已知数列3的前项和为St,。一i+a+i=2a“(22,nN*),且m=l,S5=15.(1)求数列”的通项公式；an,为奇数，若瓦=C印海求数列九的前2项和T%2an-ir为偶数，解：(1)由a”_i+a“+i=2a522,wN),得a”+一右=。一期-1(22,hN),所以数列%f为等差数列.所以Ss=5X生受=5g=15,得s=3所以公差d=合=L所以小=.(2)当为奇数时，bn=al=儿当n为偶数时，bn=2an-=2n所以T2n=(b+/?31F62
3、/1-1)+(62+64H|岳“)=(1+3dF2-1)(22(1)若 3s=3a+a3, S3+T3=2i,求%的通项公式;HF(2)若6为等差数列，且S99-n9=99,求Q.解：(1)因为3。2=3。1+。3,所以3d=+2d,所以m=d,所以“=D.一,.n1+n“,/+l因为a=F所以儿=一一=一厂，体力S3(+s)3(4+3),2349所以S3=226d,T3=b-b2b3=jdd=d因为S3+乃=21,91所以6d+)=21,解得d=3或d=,因为dl,所以d=3.所以斯的通项公式为a,l=3n.2I(2)因为瓦=f,且出为等差数列，所以2b2=b+b3,即2X%今唱所以-11;
4、-=-所以由一3md+2=0,解得m=d或m=2O.a-dcia-r2d因为市1,所以斯0,又因为的9一屈=99,由等差数列的性质，得99。5099岳o=99,d502+50即asob50=1,所以50-1,的0即-a50-2550=0,解得的0=51或。50=50(舍去).当m=2d时，50=田+49d=51d=51,解得d=l,与dl矛盾，无解，当R=d时，450=4+49d=50d=51,解得d=.综上，d=j4 .己知等比数列如的前项和为S”a=2且zt+=2S+2(1)求数列斯的通项公式；(2)在诙与斯+1之间插入个数，使这+2个数组成一个公差为小的等差数列，求证数列焉的前n项和丁丹
5、解：(1)设等比数列斯的公比为4，由0l+=2S+2,得a=2Si+2(22),两式相减得到cin+a11=2Sn2S=2ci”,即a+i=3a”，所以ci=3()2).又因On为m=2,当=I时，可得42=2Si+2=%i+2=6,可得詈=3,适合上式，所以q=3.所以数列4的通项公式为=23,(nN+).证明：由题意得，%+|一%=(+1)瓦，即23“一3门=(+1)儿，整理得小=才所以；=备j=翡一VT)所以3柔L,+（三）+(Hi7)=*/因为;0,所以备0),由题意得(5m(5+)=5+84化简得/+8d20=0,解得d=2或d=-10(舍去)，所以斯=的+(-3)d=5+26=2-
6、1.(2)由(1)知，在2一1与2+1之间插入2个2,所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有2+22+23+2=与手=2+12个项，1 2当=5时，有62个数；当=6时，共有126个数，所以IlO项应该介于四和G之间，即110=62+6+42,表示共有104个2和原先知中前6项之和，所以SlIO=I+3+5+7+9+11+104X2=244.6.已知数列斯是递增的等差数列，设其前项和为S，已知S2=3,且。2,4,小成等比数列.(1)求斯的通项公式；(2)定义组为不大于X的最大整数，求数列Hlog2。”的前2妨一ISZWN*)项和.解：(1)设等差数列斯的公差为d,由题意可知赤0,fdJ
7、=3,dl=l,因为S2=3,且9,44,48成等比数列，所以,/工人/八解得,(a+3)2=(a+0(a+7为，1d=13,以1=刁，或j2(舍去)，所以a=ai+(“一l)d=1+-1=.J=O(2)由得log2flrt=log2n,所以log2SM-I=IOg22LI=W-L所以log22LI=log22w,=M-1,当=1时，log2川=0,当=2时，Iog2=l,当=3时，UOg2=Uog23=l,当=4,5,6,7时，Iog2Zil=2,当=8,9,10,11,12,13,14,15时,log2n=3,当=2il24+l,251时，Iog2=4,，当=2f2m+l,2厂+2,2m-18+,log2=m-l,所以数列l0g20,J)的前2,-I(wN)项和为0+121+222+323+-+(w-1)2,h1,令S=IX2i+2X2?+3X23+(/-1)2C,则2S=l22+223+324-+(m-2)2w,+(rn-l)2m,所以-5=2+22+23+24+2厂I-(M-I)22(l-2m,)=-12-(m-l)2ffl=(w-2)2w-2,所以S=(M2)2+2.故数列log2w的前2一1(切N)项和为(6-2)2+2.
