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1、专题跟踪检测(四)“解三角形”大题的考法研究1 .在aABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,c,已知ocosB+bcosA=2ccosC求C；(2)若c=l,求aABC面积的取值范围.解：(1)在4A8C中，由已知及正弦定理得SinACOSB+sinBcosA=2sinCcosC,即有Sin(A+8)=2SinCcosC,即sinC=2sinCcosC,而O0,则cosC=,所以C=/(2)在448C中，由余弦定理c1=a2+b2-2abcosC得1=a1+b2abt因此122。/?一b,即Ojb1,当且仅当。=力时取等号.又SC=Ba加inC=Tx芈48=be(,乎所以4A8C面积的取值
2、范围是(,坐2 .在aABC中，角A,B,C所对的边分别是,b,c,已知2c-b=2osB.(1)求角A的值；(2)若AABC的面积S=岁，c=3,试判断aABC的形状.解：因为2c一力=2cos仅由正弦定理得2sinCsin8=2SinAeoS8,sin=2sin(-A-B)-2sincos8=2Sin(A+8)2SinACoS8=2(SinACoS8+cosAsinB)2sincos=2cosAsinB.又8是三角开彳内角，sinB0t所以COSA=.A(0,),所以A=1.(2)Sz8c=csinA=TzJX/XSinm=力=25，2=+c2-2ccos=(23)2+(3)2-2233=
3、9,=3,又新=磊=薪=25,sin8=l,sinC=,s,n3所以B=EAABC是直角三角彩.3 .(2023泰安二模)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为,b,c,a=2,b=3,COSB=-(1)求sinC；(2)若点。在aABC的外接圆上，且NABO=NC8。，求A。的长.解：(1)法一：在AABC中，由余弦定理得，9=4+d-4cx(-g),即c2+*-5=0,解得C=3(舍)或c=.I2x2VcosB=(0,),.sin8=3522由正弦定理得，SinC=27.法二：在aABC中，cos8=-g,sin2x22/入34/37由正弦定理得，sinA=j=9,cosA=g,sinC
4、=sin(AB)=(4)42=(2)连接CD(图略)，；NABD=NCBD,：.AD=C),.AD=CD.又NABC+NAQC=,.cosZADC=.14设A。=Co=M0),在AACD中，由余弦定理得，9=m2-m2-2m2=fn2f2-ZZ.33.,n33】=不.zn=2.AD=2-4.在tanAtanC小tanA=l+5tanC；(2c小)cosB=小COSA；(a5c)sinA+csinC=AsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角8的大小；(2)已知C=ZH1,且角A有两解，求力的范围.解：(1)若
5、选：整理得1tanAtanC=-q5(tanA+tanC),因为A+3+C=兀，_tanAtanC巾小，“所以IanB=匕n(A+C)=-;G=方因为BW(0,),所以1-tanAtanC36若选：因为(2c5)cosB=y3hcosA,由正弦定理得(2SinC-y3sinA)cosB=3sinBcosA,所以2sinCcos8=5sin(A+8)=5sinC.因为SinCx),所以COSB=竽.因为B(0,),所以B=.O若选：由正弦定理整理得/+/一=小双，所以也安z=乎，即CoSB=坐.因为B(0,),所以B=专(2)将。=b+l代入正弦定理si：B=Si：C得看S=SinC所以SinC
6、=因为B=聿，角A的解有两个，所以角。的解也有两个，所以sinC0,所以b8+ll.故人的取值范围是(1,).5 .(2023聊城二模)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,。，已知4&os2B+4j2sin2A=32-3c2.(1)证明：6ccosB=Oi(2)若b=l,求AABC面积的最大值.解：(1)证明：由正弦定理及4cos2B+4sin2A=3-3/得4sin2Acos+4sinsin2A=3sin-3sin2C,即4sin2A=3sin-3sin2C.再由正弦定理可得4a2=3b2Sc2.4由余弦定理b2=a2-c2-2accosB得，tz2+c2-2f?ccosB=j2c
7、2,即=-6ccosBt故a+6ccosB=O.4(2)由4q2=32-3c2及b=l,可得C2=I-予?由c20得1，?0,所以0a2j.在AABC中cos8=一含，所以sin1一喘所以SABC=TaCSinB=2acj136?=yc2a2=击8+cosNBDCsin/ADB=坐义坐Xg=坐.即SinNADC=坐(2)设N34O=,BCD=,.*.BD2=3+123cosa=4+2-42cos.，42cos夕一2小COSa=2t/.2*2cos夕一小CoS=1,S5i=(j31sinQ221sin2=sin22sin2/?=sin22(1当且仅当CoSa=一七，cos-=-时取最大值石.OOO71所以&+S3的最大值是年.O
