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1、专题跟踪检测(十一)“立体几何”中的空间角与距离问题1.(2023潍坊一模)如图，在四棱锥尸一ABCO中，底面ABC。是边P长为2的正方形，PC工PD,二面角ACO一尸为直二面角.求证：PBLPDx/(2)当PC=P。时，求直线PC与平面附8所成角的正弦值.解：(1)证明：由题意知平面PCoJ平面ABa),又平面PCo平面A8CO=CD,BCCDfBCU平面ABC。，所以BCL平面PCO.因为PoU平面PC。，所以BC工PD.又因为PCLPD,BCQPC=CtPCU平面PBc8CU平面P8C,所以PDJ平面P8C.因为PBU平面P8C,所以PDLPB.(2)取CO的中点O,连接PO,取AB的中
2、点E,连接OE因为PC=Pz),点。是CO的中点，所以Po工CD.T又因为平面PCz)J_平面ABa),平面PCO平面ABCO=CO,POU松口平面PCD,所以PO_L平面ABCD.t6Ey因为点。，E分别是CO,A8的中点，所以OEA。，OECD.C则。A=；CO=I,0E=AD=2.以点O为坐标原点，OD,OE,OP所在直线分别为y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，0(0,0,0),C(-1,0,0),8(1,2,0),P(0,0,1),A(l,2,0),AP=(-f-2,1),AB=(-2,0,0),PC=(-1,0,-1).nAP=X2y+z=0,设n=(x,yfZ)是平面以8的法
3、向量，则，取)，=1,则z=2,nAB=-2x=0,所以n=(0,l,2).设直线PC与平面PAB所成的角为仇则sin=cos-A8CN中，ADlCD,AD/BC,AD=CD=2,BC=3,A1C与BlDi交于点EfG为棱BBl上一点，且88=33G,点CI到平面48。的距离为当g.(1)判断AG是否在平面4E。内，并说明理由；(2)求平面ADiE与平面AAiDi所成角的余弦值.解：(1)AG不在平面AEDI内.理由如下：以4为坐标原点，过A作与AO垂直的直线为X轴，ADtAA所在的直线分别为y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为小，则Q(0,2,0),B(2,-1,0),
4、C(2,2,m),(0,0,n),又洒=(2,1,一6)，AC=(2,2,0),7S=(O,2fm).2xi-yi-wz=O, 即I取(2y-wz=0,AB=0,设平面A13)的法向量为n=(x,y,Zi),则,D=0,11i=(3m2%,4).“、，E匚,In6-+4川10|训OHm所以点C到平面ABD的距的(1r,f=I=17,解Inl9w2+4+1613zr+1617得川=2设平面ABQl的法向量为n2=(M,y2tZ2),由丽=(2,-1,2),而T=(0,2,2),2X2-J22Z2 = O,即2+2z2=0,取 2=(-3, 2,2).2Afif=O,得J_112Ad=0,而急=(
5、2,-I,所以而n2=2X(-3)+(-l)X(-2)+X2=-gw.又AS与4E,AO共面，故直线AG不在平面AEQi内.(2)由(1)知平面AED的一个法向量为n2=(-3,-2,2),易知平面AAD的一个法向量为n3=(1,0,0)._3 _3-94+4l * 112113设二面角E-AQ4的平面角为Q,则COSa=In2n3故二面角E-AD-A的余弦值为今甲.A3.在三棱锥P-ABC中，7=4,AB=2,BC=2,B4_L平面ABC,ABBC,。为Ae的中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线OE的平面与平面以8垂直，平面与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.(1)在图中画出这个四边
6、形，并写出作法(不要求证明)；(2)若PE=3EC,求点C到平面的距离.解：取AB的中点M,连接。M,作EFBC交.PB于点、F,连接PMF,则四边形OM在即为所求.如图所示.(2)以点A为坐标原点，过A垂直于平面BAC的直线为X轴，AC,AP所在直线分别为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图所示.4因为48_LBC,AB=25BC=2,所以AC=4,ZBC=30o,AM=豆AB=小,P所以岭0),D(0,2,0),C(0,4,0).因为以=4,AC=4,PE所以E(0,3,l),故百=(0,-1,1),前=崖，一j,DE=(0,13).设平面OME的法向量为m=(x,y,z),mW=o傅l%=
7、o,则有T叫2ym-DE=0,l+z=O,令X=1,则y=小，z=#,所以m=(l,小，3).mCIlI2392I所以点C到平面的距离d=窄=+f.m774.(2023全国乙卷)如图，三棱锥尸一ABC中，ABlBC,AB=2,PBC=22,PB=PC=#,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,/AO=小。，点尸在AC上，BFLAO.AJe(1)证明：E尸平面40。之心c(2)证明：平面AOo_L平面BEF；多*(3)求二面角D-AO-C的正弦值.解：(1)证明：设A尸=fAC,K1BF=BAAF=(-t)BA+tBC,AO=-BA+笆.因为BFLAOt所以后常=(1一力词+f铤卜(一切+?)
8、=-1)词2+3C2=4(r-l)+4r=0,解得=g.所以尸是AC的中点.又E是AP的中点，就以EFPC,同理可得PC所以EFOD,又OOU平面AOO,EFC平面ADO,所以EF平面ADO.(2)证明：易得AO=NAB2+BO2=#,0。=；PC=半，又AD=yD=早,所以Ao2=AO2+o02,所以AOLOO.由于E产。，所以AojLE/，又87JLA0,BFHEF=F1BFU平面BEF,EFU平面BEF,所以Ao_L平面BEF.又AoU平面ADO,所以平面ADOL平面BEF(3)如图，以8为坐标原点，84,BC所在直线分别为X,y轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),4(2,0,0
9、),0(0,2,O),AO=(一2,2,0).因为PB=PC,BC=22,所以设P(x,2,z)tz0f则延=切+*=M+J*=(2,0,0)+Ta2,2,z)=(2也2,2t2Jt由(2)知A0L8E,所以三万8=(-2,y2,0)(，,孝，$)=0,所以X=-1,叉PB=#,BP=(xt2,z),所以f+2+z2=6,所以z=5,则P(-l,2,3).由O为BP的中点，得半，弓)，则又方=(一,乎，坐设平面DA。的法向量为巾=3,b,c)fn AD =0, 则T _ A(f =0,一羡a+哗b+雪c=0,r-222得y=y2a,c=y3af2a+啦6=0,取4=1,则巾=(1,2,3).I
10、nrn2l_S_ gIniIln2I 6 2易知平面CAO的一个法向量为2=(0,0,1),设二面角。一Ao-C的大小为仇Mcosrry*相交于点O,AE=2EB,且OE平面BCG田.(1)求三棱锥C-AiB1Ci的体积；(2)平面A/C与平面A8C所成的角为,CG与平面4BC所成的角为人求证：a+_n=不解：(I)：平面A884L平面48C,且平面A884G平面ABC=A8,ABBCtBCU平面ABCt.BCL平面483A.83U平面ABBiAi,.8CL48.又ACj_8力，C4C=C,BC,AeU平面ABC,_L平面月BC连接C8,YDE平面BCCB,DEU平面ABCI,平面48G平面B
11、CGBI=G8,DECB.VAE=2EBt.AD=2DG.AC=AC.高/7=881=2,其在三棱锥C-AiBlCi中，底面4A8G的面积Sl=TX2X3=3,体积为V=5=3X2=2.(2)证明：由题意及(1)得，以8为坐标原点，分别以同，函的方向为X,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.A(6,0,0),C(OAO),(0,0,2),4(3,0,2),C(0,2,2),则瓦有=(3,0,0),熊=(0,4,-2),CC=(O,-2,2).设平面481。的法向量为n=(4,y,z),由nBA=3x=0,取y=l,则n=(0,l,2).n-i?=4y2z=0,n丽I425.易知平面ABC的一个法向量为BS =(0。2),.cosa=7=-.sm=InII的IWI
