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1、专题跟踪检测（二十）圆锥曲线中二级结论的应用1.过双曲线C，一提=l（40,0）上一点P作双曲线C的切线/,若直线OQ与直线2/的斜率均存在，且斜率之积为5,则双曲线C的离心率为（）A.B.零场30c55解析：选C设P（Mhyo）,由于双曲线C在点Pa0,把）处的切线方程为学一岁=1,故切线/的斜率A=鬻.则,=|,即双曲线C的离心率e= / 1+|_V35-5,2 .（2023苑泽模拟）设坐标原点为0,抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A,B两点,则万才加等于（）B-4C. 3D.-3解析：选D法一：抛物线y2=4%的焦点为尸(1,0),设直线AB的方程为x=(y+1,Aa1,j),%=/+
2、1Bgy)f由J得V-4y-4=0,y2=4xf/=161+160恒成立，y+=4JV2=-4,所以 Or S =XlX2yy2则法二：因为AB过抛物线的焦点,设A(Mj),B(X2,”),2则不阳+=1,所以OlOF=XIX2+）,”=-3.3 .已知尸I，尸2是椭圆C：，+七=1的两个焦点，尸是椭圆上一点，ZFiPF2=60o,则PQ尸2的面积是（）B. 2A.3C.3D.3解析：选D根据焦点三角形面积公式，求S尸FIB=岳Ian/其中6=NFPB，由题意知82=3,夕=?代入得S尸RB=抉tan,=3tar*=小.4 .已知椭圆氏宗+g=l（0b0）的右焦点为R3,0）,过点尸的直线交椭
3、圆于A,8两点，若AB的中点坐标为（1,-1）,则石的方程为（）解析：选D由题意知c=3,即岸一=9.记AB的中点为P（l,-1）,由kABkop=-%得（一 I）Xb2,4=2按.又足一=9,.*.2=18,b2=9.v22E的方程为为+=L1oy5 .已知抛物线y2=4x,过焦点尸的直线与抛物线交于A,B两点,则2HA+8A的最小值为（）A.2B.26+3C.4D.3+221 12解析：选D因为P=2,所以丽+的=万=1,所以2AQ+8月=（2H尸1+18理喘+南=3+需+需23+2.需需=3+22,当且仅当8Q=AF时，等号成立，因此，2HQ+8F的最小值为3+2v226. （2023海
4、南模拟）已知尸是椭圆点+=13b）上一动点，F,B是椭圆的左、右焦点，当NKPF2=?忖，SFPF2=43;当线段PK的中点落到了轴上时，tanBPB=*则椭圆的标准方程为（）D-+9=1解析：选A设Ipal=m，P2=w,当NF=即寸，由题意知SFlPF2=tan,即WS=2tang,所以加=12.如图，当线段PR的中点落到y轴上时，又。为的中点，所以PP2），轴，即PB轴.rllt/4IQBI4由tanNRPB=）,得可=,n3cw50b212即=彳，则7=g且=I=1.所以椭圆的标准方程为ft=L7. （2023海南调研）（多选）已知斜率为5的直线/经过抛物线Cy=2px（p0）的焦点R
5、与抛物线。交于A,8两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若A8=8,则以下结论正确的是（）而+的=1HQ=6C.BD=2BFD./为Ao的中点解析：选BCD法一：如图，过点B作工=一的垂线，垂足为8率为5,则直线/的方程为y=3-）.)2=2PK联主_阿得1220px+3p0.解得XA=茎物=会由H8=HF+811=xa+x8+=8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则HFl=XA+g=2p=6,故B正确；8F1=8-HQ=2,|8。|=黑J=悬卜=4,所以8D=28F,故C正确:AF=DF=6f则下为AO的中点，故D正确;112而丽+两=故A错误.法二：设直线AB的倾斜角为
6、氏利用抛物线的焦点弦的性质，H8=3i=8,得=3.所以IAQ=IPz3=6,IM=Ij12,1cos1cos11_2_2的+丽=万=,在Rt。）8中，COSJ=*Y,所以IBQl=4,|。Q=IBQ+BQl=6.因此尸为4。的中点.故选B、C、D.8 .已知A,B是椭圆C：1+本=1（。0）的左、右顶点，M是椭圆上不同于A,B的任4意一点，若直线AM,BM的斜率之积为一,则椭圆C的离心率为（）23A.2-3C3353B.D.b2按解析：选D椭圆上不同于A,8的任意一点与左、右顶点的斜率之积为一方，一7_44-9-2 一 22 楠圆的离心率e=3 =4-9-9 .已知斜率为小的直线经过抛物线y
7、2=2pxS0）的焦点厂与抛物线交于4,B两点,A在第一象限且IAn=4,则A6=.解析：如图，直线/的倾斜角a=60。，由 =4得 p=4(l cos a)=2,答案：yO2-2210 .已知点P是椭圆下+为=l（bO）和双曲线与一为=l（20,历0）的一个交点，Fi,ciTC12DtI产2是椭圆和双曲线的公共焦点，e,62分别为椭圆和双曲线的离心率，若NRPB=?则Q9的最小值为.解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1,尸2是两曲线的公共焦点，所以由焦点三角形的面积公式得SZPRB=屏ta哈=勺，化简得=3随即由一c2=3(c2一6.等式两tan6边同除以c2,得1-1=33.所以4=
8、+之么旦解得收力坐所以2的最小值为坐e2C26CzZZ答案:半11.已知椭圆方程为r+炉=1,右焦点为凡上顶点为从直线/与椭圆有唯一的公共点、M,与)，轴的正半轴交于M过N与Br垂直的直线交X轴于点P.若MPBP,则直线/的方程为.解析：设点Ma0,州)为楠圆+yz=上一点，由直线/与椭圆相切于点W,可设%+y0y=l.在直线MN的方程中，令X=0,可得y=k泗由题意可知和0,即点(o,g.因为直线3尸的斜率为kBF=T=一：,所以直线PN的方程为y=2x+-.Jo在直线PN的方程中，令y=0,可得X=一;，Zyo-二W即点一看，0).因为MP瓯所以kvp=kBF,即整理可得(xo+5yo)2
9、=O,所以即=一5班.又因为g+j=l,所以6)3=1.因为foO,故yo=*,Xo=一3,所以直线/的方程为一乎x+*y=1,即x0.答案：%y6=012.已知椭圆C：5+y2=l.如图，设直线/与圆O：x1+y1=R2(R2),y圆O:2+),2=4+4,椭圆C的左、右焦点分别为Q,r2,过椭圆上一点P和原点。作i直线/交圆。于M,N两点,若IPQ卜俨尸2=8,则IPMIPNl的值为.解析：设Pa,并)，因为P在椭圆上，所以1+j=,则网=4(1一%)因为IPplIlPBI=8,所以(+exo)(-exo)=8.其中e为桶圆。的离心率，则标=修,所以需=竿言，)3=4写学.又|。M=|。制=所，则IPMIPM=(IoMIoK)(IoN+1。PI)=标+4一|0|2=居+4蝠一M=/+4/+4=8.答案：814.已知双曲线C的左、右焦点分别为R(巾，0),F2(7,0),过尸2的直线与。的右支交于A,B两点.若京=2百3,AB=FiB,则双曲线C的方程为.解析：如图，令B3=f,则HBI=2.A6=3r,FB=3t.又，+，=组AF2BF2b2f.1l12a32a力+7=庐即五=庐又|1阴一|尸2阴=2。，3-=2,2=2.r=A.即3b2=402.又C=巾，2+2=7,解得按=4,2=3,O2故双曲线C的方程为I-I=1.答案:f-=
