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1、专题跟踪检测(二十一)圆锥曲线中的求值及证明问题v22v21.(2023承徒模拟)已知椭圆c:与椭圆c2:j+=l有相同的离心率，且椭圆G过点(一25，0).(1)求椭圆C1的方程；(2)若直线工一y一1二0与椭圆G交于4,8两点，求线段AB的垂直平分线的方程.解：(1)由题意得4=2小，椭圆。2：.+y2=l的离心率为L.=:.c=3,：.b=(23)2-32=3.；椭圆Ci的方程为+勺=1.(2)设Aa1,y),B(X2,”),由3得5x2-8x-8=0,-y-1=0,xi+x2=j.设AB的中点为M(m),yo),4-5,-M+ 2Xl-Xoyo又以8=1,工线段AB的垂直平分线方程为y
2、+g=(、一,)，即x+y-1=0.2.已知抛物线0：V=2px(pO)的焦点为尸.过焦点尸的直线/：X=My+?与抛物线。交于A,于IABl的最小值为12.(1)求抛物线的方程；(2)若过点尸的另一直线与曲线0相交于C,O两点，E(8,0),以方+3)=0,且AABE与CDE的面积的和为3即，求直线/的斜率.解：(1)依题意抛物线0的焦点为造，0),则IABImin=12时,直线/与X轴垂直，不妨取A(,6),贝J36=2pX*因为p0,所以=6,所以抛物线的方程为y2=2x.(2)因为抛物线Q的方程为j2=12x,所以尸(3,0),则直线/的方程为x=my+3.设A(Ki,y)f8(x2,
3、”)，fy2=12x联立彳I消去X得y2-2my-36=0,=wj3,y+)=12m,yy2=-36,所以忸阳=M+m+p=12m2+12.因为点C,。在曲线。上，且以8+ke=0,所以根据抛物线的对称性知Saabe=Skde.因为E(8,O),所以点E到直线AB的距离d=t=f.l+w2Z15(12-2+12)所以SS8E=/阴d=2帚，因为S4ABe+SdCDE=35,所以SAABE=15小,所以5Q彳tHj)=15小,解得?=*.21+zw22所以直线/的斜率为2或-2.9y3 .(2023荆门模拟)已知双曲线C-2=1(t0,b0)的左、右焦点分别为Q,F2,直线/：%=1,2与X轴交
4、于点”与双曲线C的一条渐近线交于点T,且万万+3能=0,铝宿=-2.(1)求双曲线C的方程；(2)设过点H与X轴不重合的直线交双曲线C于A,B两点,直线4尸2,分别交，于点M,Nf求证：IHM=IHM.解：设双曲线C的焦距为2c,其中/=/+炉，则F(-c,),F2(cf0),H(IfO)f所以时=(-c-l,0),碇=(C-1,0),由用+3明=0,有一C-1+3(C-D=0,得C=2,所以产1(一2,0),尸2(2,0).因为双曲线C的渐近线方程为y=,有71,?),所以分7=(-3,示=(1,一.,2a_2由77tA=-2,得一3+宗=2,即-3+尸=2,得02=2,所以/=/一/=2.
5、v22所以C的方程为5=L(2)证明：设AB的方程为y=A(-1),A(Xy)tB(x2t”),(y=k(-)联立方程组彳得(1一标)f+2FX-F2=0,U-2=1所以l-F0,J=4A4-4(l-A2)(-2-2)0,21c标+2处+必=声=，MX2=FP的ni_L/or-ViI3k(x-)k(x2-)2xX2-3(x+x2)+4所以kAF2+kBF2=+-7=-+=k-;-Xi-2及-2-2及-2(x-2)(x2-2)k3+22/7Tv2X72i3X72i+4=0.(1-2)(X221k_1K-IJ所以kBF=-kAF,即NMF2H=NNFiH.即HF2不分NMFzN,因为MN3_”尸2
6、,所以点”为MN的中点.所以M=lN4 .已知定圆户：(X-I)2+/=16,动圆”过点E(1,0)且与圆F相切，记圆心”的轨迹为C(1)求曲线C的方程.(2)已知A(2,0),8(2,0),点M是曲线C上异于A,B的任意一点，设直线AM与直线/：x=4交于点N,求证：ZMFB=2ZNFB.解：(1)由圆F:(-l)2+y2=16可得圆心尸(1,0),半径r=4,点E(-l,0)在圆/内，圆H内切于圆尸，.HE+HF=4EF=2.22；点H的轨迹C为椭圆.设其方程为，+*=l(Gb0),则2=4,c=1,.*.b=ya2c2=3,轨迹C的方程为+=.(2)证明：设Ma0,J0),且在X轴的上方
7、时，若MELAB,不妨取M1,3，满足曲线C的方程，+1=1,则AM的方程为)=笈+2),则N(4,3),此时NNFB=45。.又NMFB=90。,故NMFB=24NFB:若M尸不垂直于A8,设NNFB=0,NMFB=%Vn则由M(X0,o),尸(1,0)得tan。=一XO又直线AM的方程为F=IB2(%+2),联立x=4可得小，黑）6兆.,.xo+22y()z.故Lvf-3Xo+21仇则tan202tan4oxo+21tan1-2比、Jo+2,_4)MM)+2)-(x0+2)2-4又3需+4M=I2,则 lan 2=4yp(xo+2)(Xo+2)23(4-.诏)4州(向+2)_Vo4(xo1)(必+2)&-1又夕(o, 5，(0, ),故2。=Q即NMFB=2NNFB;当点M在X轴的下方时，根据对称性，显然也满足NMFB=2NNF8:综上，NMFB=2NNFB得i正.
