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1、专题跟踪检测(二十二)圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1. (2023孝感模拟)已知抛物线丁=9彳上一动点G,过点G作X轴的垂线，垂足为。，M是GD上一点，且满足GA?=Gz5.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若P(Xo.4)为曲线。上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A,B两点,若满足kpA+kpB=2,求证：直线48恒过定点，并求出定点坐标.解：(1)设M(x,y)tG(x,0,Ji)=4m,yj2=-4r，7,I，_9lll,y4.V2-4_4_4(y)+32又kz+kp?-2,则.-,_1_八/_1_八一2.x-4及4巾+4及+4(y+4)0+4)将代入得，_4鬻%6=2,
2、所以，=2用,所以x=my+2m=n(y2).所以直线恒过定点(0,-2).2. (2023南通模拟)已知A(x,y),B(x2,y2),Ca3,”)三个点在椭圆，+y2=1上，椭圆外一点尸满足/=2而，=2R(O为坐标原点).(1)求xx+2yy的值；(2)证明：直线AC与OB斜率之积为定值.解：(1)设P(%)，)，因为m=29，X=-2x,所以(1,y)=2(-Xty),解得Jy=-2yh又因为留=2?,%3=一即+2、2,所以(一Zr-X2,2yiy2)=2(-2xi工3,2y一”)，解得JUJ=F+萍I +&2= 1 =y+H(y+-2X2yyf-Xl+52)2因为点C在椭圆上，所以
3、12=1,即汨及+2川”=爹.(2)证明:设直线AC与OB斜率分别为Ce,koB,kAch)B =,3一，X 送=X3-X X2一十%X 及1A ,1X2-22-2yoj2+p-2K1-2W2+聂2xX2 21 L= 一费定值.lX222023. (2023黄冈中学二模)如图，已知双曲线E：，一%=l(0, b0)的 一条渐近线与X轴夹角为多点(1,0)在E上，过G(4,0)的两条直线/1，/2的 斜率分别为M,总，且鬲生=3,八交E于A, B, /2交E于C, D,线段AB 与CO的中点分别为M, N, GH工MN.(1)求双曲线E的方程；(2)求证：存在点K,使HK为定值.f9解：(1)依
4、题意=l, =5,则/?=小，,E的方程为/一1=1.(2)证明：设 A(, j), B(X2, ”)，AB 的方程为 y=k(4), C(K3,券)，D(x4, y4)f CD的方程为y=22(x4),联立,3x2-y2=3,得(好-3)x28区+16后+3=0,则/=4(45后+ J=ZI(L4),q9)0,且后一30, x1+x2=p.从而 ! 2 = (Xl X2-8)=24好一 342k1L后,不与，同理可得取=3,也/则乂各,)：,MN的斜率kMN=好 3 3一6 24自 6h12%12A4后12-4后+12-A3,好一3-3一好直线MN的方程为了一/台=5招G港即)，=普(刀一2
5、).，直线MN恒过定点T(2,0).又N7G=90,J”的就迹为以TG为直径的圆.取7G的中点K(3,O),则IHN=ITXI=IKG=；ITGI=1.故存在定点K(3,O)使IHKl为定值.4.已知曲线氏直线/：)，=%+加与曲线E交于y轴右侧不同的两点A,B.(1)求的取值范围；(2)己知点P的坐标为(2)，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.解：设AaI,y),3(X2,”),y=x+?，联立方程，2+注_消去y得3/+4吠+2?26=0,=(4m)2-43(2w2-6)0,4由题意可得力+m=一产，2m2-6XlX2=-0,解得一3根一故相的取
6、值范围为(-3,一小).(2)内心恒在一条定直线上，该直线为x=2,*.*y=l,故点尸(2,1)在椭圆上.若直线/：y=x+机过点(2,1),则2+6=1,解得加=-34(3,1小),即直线/：Iy=x+机不过点(2,-1),故直线AP,BP的斜率存在，由(1)可得Aa1,y)tB(X2,y)t42m26Xl+X2=-2W,XX2=.设直线AP,BP的斜率分别为心，k2f则女曰h=yJ心x-2,K2X1-T k kz-巾一1Xi-2。211汹一2_(_)(,2)+62_)(32)(X12)(X2-2)(Xl+川-1)。2-2)+。2+-l)(x-2)3-2)32)2xX2+(m-3)(x+x2)-4(?-1)(二-2)(X22)2(6)+(?-3)(-5，-4(/%一)(XL2)S2)4/4一12-4户+12m-12m+123_(1-2)(x2-2)=，即M+依=0,则NAPB的角平分线为x=2.故AAPB的内心恒在直线x=2上.
