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1、专题跟踪检测(十二)“立体几何”中的综合问题l.(2023绵阳模拟)如图，已知底面ABC。是正方形，出_1_平面488,PA/DQtPA=AD=3DQ=3,点E,尸分别为线段尸8,。的中点.(1)求证：后/平面加D。；(2)线段PC上是否存在点M,使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是华？若存在，求出镌的值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：因为底面ABCO是正方形，且附_L平面A8CQ,所以AP,ABtAD两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,3),C(3,3,0),Q(031),B(3,0,0),E,0,券啰,3,),所以X=(0,3,-1),TC=(3,3,一3
2、),CQ=(-3,0,1),易知平面PADQ的一个法向量为a=(l,0,0),所以aEF=0.所以aEF.又ERt平面13即+3加-3ZO=0,3xo+zo=,PADQ,所以E5平面布。.PCITI=0,(2)设平面PCQ的法向量为m=(M,JO,Z0),则，_CQm=0令XO=1,可得m=(1,2,3).假设存在点M,PM=PC(三0,1),设M(X,ytz)t则(x,ytz3)=3,3,3),所以(3九3,3-3z),得前=(3九32,33.所以仍TW/力2=华，14-9z9Z(3-3)得282+1=0,解得2=；或2=:，所以=1或2.如图，线段AAl是圆柱。的母线，BC是圆柱下底面C)
3、O的直径.(1)弦AB上是否存在点。，使得OQ平面AIAC,请说明理由；(2)若BC=2,ZABC=30o,点4,A,B,C都在半径为5的球面上,求二面角C48A的余弦值.解：(1)当点。为AB的中点时，OiO平面AlAC证明如下：取AB的中点。，连接0。VO,。分别为BC,AB的中点，则OOAC,QDC平面AlAC,ACU平面AlAC,0。平面4AC,又.OOAAOOlC平面AIAC,AAlU平面AAC,。1平面AIAC,；OOiRoD=O,OOt0。U平面OQ。，平面0。平面AIAG由于0。U平面OO，故Qo平面AIAC(2)BC是G)O的直径，可得NBAC=90。，即ABLAC,由于BC
4、=2,NABC=30。，故AB=小,AC=I,又TAAJ平面A8C,且AB,ACU平面A8C,AA1AB,AA1AC,即AB,AC,AA两两垂直，且点Ai,A,B,C都在半径为啦的球面上,可知该球是以A&ACtAAl为长、宽、高的长方体的外接球，则AB2+AC,2-4z2=0,设平面PB。的法向量为m=(X2,)%Z2),则，即JL.令vaDB=0,l-32+y2=0,Z2=5,得m=(2,25,3).mniH设平面PCD与平面PBD的夹角为优则cos3=,mn19，平面PCD与平面夹角的余弦值为蒋4.如图，在五边形ABCOE中，四边形ABC。是矩形，AE=AD=DEP=2AB=2f将AAOE
5、沿着AD折起，使得点E到达点尸的位置，且平g也箧面布力，平面A8C。，点RM分别为线段A。，AP的中点，点G在线、段PB上，且BG=YP.(1)当;I=T时，证明：尸G平面PC。；(2)设平面FGM与平面PAD所成的角为仇求sin的最大值及此时2的值.解：(1)证明：取PC的中点“，连接G，DH.VG,H分别为PB,PC的中点,：GHBC,GH=BC.V四边形ABC。是矩形，点尸为A。的中点，：FDBC,FD=BC.：.GH/FD,GH=FD,，四边形G”D尸为平行四边形，GFO”.又/C平面PCO,OHU平面PC。， G尸平面PCD.(2)由题可知=PD,又点尸为A。的中点，.PFLAD.
6、平面布D_L平面A8CO,平面布。平面A8CO=AO,P尸U平面RUX 尸产_L平面A8CO.过点尸作AB的平行线，交BC于点M,以点尸为坐标原点，FA,7TV,万声的方向分别为X,y,z轴与一夕醺的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，7xB则尸(0,0,0),A(IAO),B(l,l,0),P(0,0,3),%,0,亨,/.W=,0,明,F?=(1,1,O),#=(-1,-1,3).由题设芯=厂前(OWAW1),当2=1时，显然不符合；当02+3zz=0,取x=-l则z=l,y=7取平面PAD的一个法向量n=(0,0),mn.*.cos=Icos(m,n)I=mn2小九一小-ll3(2.-l
7、)-弋3+1+(-42-202+7当2=3时，cos。=。，此时sin，取得最大值Lsin的最大值为1,此时7的值为去5. (2023六安一佛)如图所示，长方形48CO中，AQ=I,A8=2,点M是边CO的中点，将aADM沿A”翻折到ARW,连接PB,PC,得到图的四棱锥P-A8C.(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值；(2)设PAMO的大小为伍若(,之，求平面附M和平面PBC夹角余弦值的最小值.解：(1)如图，取AM的中点G,连接PG,因为%=PM,所以GPM.当平面MJL平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，产斗四棱锥P-ABCM的体积取得最大值，此时PGJ平面ABCM且PG=
8、TAM=乎，底面ABCM为梯形，Sasgw=(1+2)X1X=32,所以四棱锥P-ABCM的体积最大值为;XlX乎=乎.(2)连接DG,因为DA=OM,所以QG所以NPGO为P-AM一。的平面角，即NPGo=0.过点。作OZ_L平面A8CQ,以。为坐标原点，分别以。A,DC1DZ所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，JWA(100),M(0,l,0),C(0,2,0),8(1,2,0),过P作PHJLoG于点”，由题意得P”_L平面ABCM.设P(XO,yo,Zo),因为PG=坐，所以P”=坐SinaGH=哗COS8,DH=-1cos),所以M)=yo=4(1-cos仍X乎
9、=B(I-cos。),Zo=当Sin.所以pQ(1cos),(1cos),坐Sin所以不？=(一1,0),PA =1 +cos 2-:COS - 12-:一Sin 6).设平面啊”的法向量为m=Cn,y,z),则nAM=xy=O,I-lcoscos01inCnPA=22y122|=0令ZI=啦，则n=(tan仇tanfy2).设平面P8C的法向量为n2=(x2,)%Z2),因为而=(1,0,0),(cosQ-1cos。+32.PC=(2，2，-2smy,(112CB=%2=0,-fcos-IcosJ+3啦Sin3八112PC=2迫+2-2Z2=0,令)2=gSin8,可得112=(0,6Sin。，3cos。).设两平面夹角为q,则CoSa=n1n2+32+2cosn112(2tan22)(sin+6cos+10)3COS，+1|y11cos6cos0/(cos 吗)2+兼。S 叶()+竽因为y=802+60L9的对称轴为/=一,所以当f=3时，CoSa有最小值4所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为斗
