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1、第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动利转动两种运动形式。另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotationalflow)和无旋流动(irrotationalflow)o一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本
2、身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图51(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一
3、个方向，即儿童对地来说没有旋转。二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。如图52所示有一矩形流体微团ABCD在XoY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A,B,C,Do田E2米体情团口.费转和变形流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度w=3Q=t彦茬:的平均值同理可求得流体微团旋转角速度的三个分量为1i9tvQV1I1.2“Fl1IOV9U-一可.孩一裒Fi.；3=寸研i叱+0无旋的定义OJX=Wy=5=0atl丝_史2E=叱第一曲az-az也9y第二节速度环量和旋涡强度一、速度环
4、量(VeIOCilycirculation)为了进一步了解流场的运动性质，引人流体力学中重要的基本概念之一一速度环量。假定在某一瞬时流场中每一点的速度是已知的，设在流场中任取封闭曲线K,如图54所示。速度环量定义为速度沿封闭曲线K的线积分，即-,速度环量是一个标量，但具有正负号。速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。后者般规定为：当沿封闭曲线K反时针方向绕行时，取为正号。二、旋涡强度(StrengthofVorteX)沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。如图55所示，在平面XoY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA=dxdy,沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度
5、环量推导于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理(Stokes,law)：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I,即dZ=2e.d,l由式(57)可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以Q表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量(VeCtOr)。由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这区域内的流动一定是无旋流动。(例52)一个以角速度a按反时针方向作像刚体一样旋转的流动，如图5-6所示。试求在这流场
6、中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。上例题正是斯托克斯定理的一个例证。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。(例5-3)一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即V=C,其中C为常数，如图57所示。试r求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。第三节速度势和流函数速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究，特别是无旋流动和不可压流体的平面流动起着相
7、当大的作用。例如，我们知道流体力学研究中的一个重要问题，就是求出流场中的速度分布，它有三个变量。对于无旋流动，可以引入一个参数即速度势函数，我们可以把求解三个未知量U,V,W的问题，变为求解一个势函数问题，使问题大大简化。一、速度势函数(VelOCitypOtentialfunction)1.速度势函数引入在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零，也就是说，在无旋流动中每一个流体微团都要满足式(54)的条件，tfUyv八MSCCC*尊蓬C30三J一一一pSymzaxAx育aj,根据数学分析可知，式(54)是udx+vdy+wdz成为某函数(x,y,z)的全微分的充分和必要条件。而函数中的
8、全微分可写成“一崇1.券一捌函数中称为速度势函数或位函数，简称为速度势。它与电位的概念相类似,电位的梯度是电场的强度，而速度势的梯度则是流场的速度。在定常流动中速度势与时间无关，仅是坐标的函数。即二(x,y,z)当流体作无旋流动时，总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动，或简称为势流或位流。从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动。只要满足无旋条件，必然有速度势存在。2.速度势函数的性质(1)不可压流体的有势流动中，势函数中满足拉普拉斯方程，势函数中是调和函数。在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问
9、题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。(2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差。而与曲线的形状无关。根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分部Y4FaOdq.Vr)TWd釉一仇aa1这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零二、流函数(StreamfUnCtiOn)1 .流函数引入对于流体的平面流动，由不可压缩流体平面流动的连续性方程(329)得无平湎惦端装流线随分方也如一Hr=O(516；抠梃效学分析式(.S-S兄式5-.S)成为某Ffi)的仝裳夕
10、的充分郑必要条件,印IJ17)IeW”=了费，%二一若令d=0或=常数，由式(517)可知，在每一条流线上函数中都有各自的常数值，所以函数中(x,y)称为流函数。流函数永远满足连续性方程。对于不可压缩的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有黏性还是没有黏性，一定存在流函数。要注意的是，在三维流动中，一般不存在流函数(轴对称流动除外)。2 .流函数的性质(1)对于不可压缩流体的平面流动，流函数中永远满足连续性方程。(2)对于不可压缩流体的平面势流，流函数中满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的中的拉普
11、拉斯方程。(3)平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数中的物理意义。如图5-8所示，在两流线间任一曲线AB,则通过单位厚度的体积流量为udy+卜（一1.f）=Ih：.NIdW1%;Il由式可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。三、6和中的关系如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(511)和式(518),可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系或_型或934”3N丝姓+笠叱=O式(522)是等势线簇和流线簇互相正交的条件，在平面上可以将等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网(10
12、wnel),如图59所示。(例54)有一不可压流体平面流动的速度为u=4x,v=-4y,判断流动是否存在流函数和速度势函数，若存在求出其表达式。(解)由不可压缩流体平面流动的连续性方程流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。由流函数的全微分式得：第四节基本的平面有势流动引言：流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成，介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等。一、均匀直线流动(UnifolITirectilinearflow)流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即U=U。和V=VotS-U丘为丈的
13、金鲁由式(511)和式(518),得速度势和流函数中=N+g3,夕=一研上+肛)由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程(341),得，一场=港数如果均匀直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可以忽略重力的影响，于是P=常数即流场中压强处处相等。二、平面点源和点汇如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点；若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点。显然，这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度VreB5-11点就和点1.的流售()点flhC)AC现将极坐标的原点作为源
14、点或汇点，则去q、,是点源或点汇在每秒内流出或流人的流量，称为点源强度或点汇强度O对于点源，q、，取正号；对于点汇，q,取负号，于是p=tir=111ZP+.铲等势线簇是同心圆簇(在图511中用虚线表示)与流线簇成正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。三、点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束以等角速度三绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。咫-3nf的石*由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线
15、的速度环量等于涡束的旋涡强度，即2nrtv=1=常数于是叫I=搀，u-r0(529)因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径r0,则成为一条涡线，这样的流动称为点涡。但当r。-*O时，vf8,所以泯点是一个奇点。点涡的速度势和流函数分别为片一斤Inr当X)时，环流为反时针方向，如图513所示；当0时，环流为顺时针方向。点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆，而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。设涡束的半径为%，涡束边缘上的速度为%=,压强为小18；时的211r0速度显然为零，而压强为P。,。代人伯努里方程，得涡束外区域内的压强分布为tiiP1人=户“一彳P=2_一标22PP1户加一热=E卬。=苑W在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。
