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1、第11章动量矩定理一、是非题（正确的在括号内打“，、错误的打“X”）1 .质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩，等于质点系的动量对该点（或轴）的矩。（）2 .质点系所受外力对某点（或轴）之矩恒为零，那么质点系对该点（或轴）的动量矩不变。（）3 .质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。（）4 .质点系对某点动量矩守恒，那么对过该点的任意轴也守恒。（）5 .定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。（X）6 .在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。（X）7 .质点系对某点的动量矩定理外=TM。（耳C）中的点O是固定点或质点系的质d，i=心。（）
2、8 .如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆ABf对转轴的转动惯量为JO=J4+?+加,，式中机为AB杆的质量。（X）dn9 .中选质点系速度瞬心尸为矩心时，动量矩定理一定有一（=ZM,（五：）的形式，df21而不需附加任何条件。（X）10 .平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，那么刚体只能做平动；假设所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。（X）图11.23二、填空题1 .绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与鱼速度的乘积。2 .质量为m,绕Z轴转动的盘旋半径为夕，那么刚体对z轴的转动惯量为人=mp2。3 .质点系的质量与质心速度的乘积称为度的动武。4 .质点系的
3、动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的才垃对该点的矩有关，而与系统的内力无关。5 .质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对K轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对X轴之矩的代数和等于事。6 .质点M质量为m,在Oxy平面内运动，如图11.24所示。其运动方程为x=acoskt,y=bsinK,其中a、b、k为常数。那么质点对原点。的动量矩为1.0=ahk。7 .如图11.25所示，在铅垂平面内，均质杆OA可绕点O自由转动，均质圆盘可绕点八自由转动，杆QA由水平位置无初速释放，杆长为/,质量为小：圆盘半径为R,质量为M。那么当杆转动
4、的角速度为G时，杆OA对点0的动量矩=；根尸0；圆盘对点。的动量矩1.o=Ml%；圆盘对点A的动量矩4=9。图11.24图11.258 .均质T形杆，CM=BA=AC=/,总质量为m,绕。轴转动的角速度为口，如图11.26所示。那么它对0轴的动量矩1.o=W产。9 .半径为凡质量为m的均质圆盘,在其上挖去一个半径为r=82的圆孔,如图11.271 Q所示。那么圆盘对圆心0的转动惯量4=芸水2。图11.26图11.2710.半径同为凡重量同为G的两个均质定滑轮，一个轮上通过绳索悬一重量为Q的重物，另一轮上用一等于Q的力拉绳索，如图11.28所示。那么图11.28（八）轮的角加速度与二一逖一;图1
5、1.28(b)轮的角加速度J=。1(G+2Q)R2GR图11.28三、选择题1 .均质杆A8,质量为m,两端用张紧的绳子系住，绕轴。转动，如图11.29所示。那么杆对0轴的动量矩为A。（八）n2y(B)mI1(C)zz2y(D)Am/%2 .均质圆环绕Z轴转动，在环中的A点处放一小球，如图11.30所示。在微扰动下，小球离开A点运动。不计摩擦力，那么此系统运动过程中B。（八）&不变，系统对Z轴的动量矩守恒(B)3改变，系统对Z轴的动量矩守恒(C)0不变，系统对Z轴的动量矩不守恒(D)3改变，系统对Z轴的动量矩不守恒3 .跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以
6、速度U向上爬，如图11.31所示。假设不计绳子和滑轮的质量及摩擦，那么重物的速度B。（八）等于V,方向向下(B)等于乙方向向上(C)不等于MD)重物不动图11.29图11.304 .在图11.32中，摆杆04重量为G,对。轴转动惯量为J,弹簧的刚性系数为k,杆在铅垂位置时弹簧无变形。那么杆微摆动微分方程为Q(设Sine=6)。（八）J=-ka2-Gb(B)J=ka2+Gh(C)-J=-ka2-Gb(P)-J=ka2-Gh图11.31图11.325 .在图11.33中，一半径为R。质量为m的圆轮，在以下情况下沿水平面作纯滚动：(1)轮上作用一顺时针的力偶矩为的力偶；(2)轮心作用一大小等于的水平
7、向右的力F假设不计滚动摩擦，二种情况下C（八）轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等(B)轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等(C)轮心加速度相等，滑动摩擦力大小不相等(D)轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小不相等6 .如图11.34所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长杆质量为M,长为1.均质圆盘质量为论，半径为R,那么刚体对。轴的转动惯量为A。(A) J0=/:+耳faR?+1.)(B) Jo=-1.2+M2R2+M2(R+1.)2(C) J0=-1/+M2R2+M2i3(D) J0=-1.r+M2R2+M2R2图11.33图11.34四、计算题11-1各均质物体的质量均为根，物体的尺寸
8、及绕固定轴转动角速度方向如图11.35所示。试求各物体对通过点0并与图面垂直的轴的动量矩。图11.35解：a)杆OA对通过点。并与图面垂直的轴的动量矩为(b圆盘对通过点。并与图面垂直的轴的动量矩为(c)圆盘对通过点0并与图面垂直的轴的动量矩为11-2如图11.36所示，鼓轮的质量町=1800kg,半径r=0.25m,对转轴O的转动惯量7。=85.3kgm2。现在鼓轮上作用力偶矩M=7.43kNm来提升质量W=2700kg的物体Ao试求物体人上升的加速度，绳索的拉力以及轴承O的反力。绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。解：1选整体为研究对象，受力分析如下图。应用质点系动量矩定理，有解得鼓轮转动的角
9、加速度为物体A上升的加速度为12要求绳索的拉力，可选物体A为研究对象，受力分析如下图。应用质点运动微分方程，有解得绳索的拉力为3要求轴承O的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如下图。应用质心运动定理，有%=，-町g-耳=O解得Fx=0,FOy=叫g+Fr=46.26(AN)图11.36图11.3711-3半径为R,质量为的均质圆盘与长为/、质量为M的均质杆较接，如图11.37所示。杆以角速度Cy绕轴O转动，圆盘以相对角速度,绕点A转动，(I)Cq=：(2)t=-t试求系统对转轴。的动量矩。解：系统对转轴。的动量矩是由杆对转轴O的动量矩和圆盘对转轴。的动量矩两局部组成。杆对转轴。的动量矩为1当9
10、=时，圆盘转动的绝对角速度为圆盘对转轴。的动量矩为故系统对转轴。的动量矩为2当,=-时，圆盘转动的绝对角速度为圆盘对转轴。的动量矩为故系统对转轴。的动量组为11-4两小球C、。质量均为，用长为2/的均质杆连接，杆的质量为M,杆的中点固定在轴上，C。与轴48的夹角为0,如图11.38所示。轴以角速度转动，试求系统对转轴AB的动量矩。解：杆C。对转轴48的动量矩可表示为球C、。对转轴ZB的动量矩可表示为系统对转轴AB的动量矩为11-5小球例系于线MoA的一端，此线穿过一铅垂管道，如图11.39所示。小球例绕轴沿半径MC=R的水平运动，转速为=120rmin今将线OA慢慢拉下，那么小球M在半径MC=
11、的水平圆上运动，试求该瞬时小球的转速。2解：选小球为研究对象，小球受有重力和绳子拉力作用，受力分析如下图。由于重力和绳子拉力对轴X的矩均等于零，即ZMK/)=0,可知小球对工轴的动量矩保持守恒。即有R而y=c限，V1=(d,代入上式，有2故出=4。，即小球M在半径Me=O的水平圆上运动瞬时小球的转速为2图11.38图11.3911-6一直角曲架4。B能绕其铅垂边AD旋转，如图11.40所示。在水平边上有一质量为小的物体C,开始时系统以角速度g绕轴4。转动，物体C距。点为。，设曲架对4。轴的转动惯量为人，求曲架转动的角速度0与距离QC=之间的关系。解：选整体为研究对象，受力分析如下图。从受力图可
12、以看出，系统所受的全部外力对Z轴的矩等于零。系统对Z轴的动量矩也保持不变，即解得曲架转动的角速度G与距离QC=厂之间的关系为11-7电动机制动用的间轮重为IV（可视为均质圆环），以角速度g绕轴转动，如图11.41所示。间块与闸轮间的滑动摩擦系数为f,闸轮的半径为r,它对O轴的转动惯量为J0=mr1,制动时间为,设轴承中的摩擦不计。求间块给闸轮的正压力尸n。解：选间轮为研究对象，受力分析如图b所示。我们可以应用动量矩定理来计算闸块给间轮的正压力五N。先计算制动后间轮的角加速度，由运动学可知可知制动后闸轮的角加速度为式中负号说明真实的角加速度的转向与图中假设的转向相反，即闸轮作减速转动。然后应用动
13、量矩定理，有而Fd=/Fn，代入上式，可解得间块给闸轮的正压力入为图11.41图11.4011-8如图11.42所示两轮的半径为、R2o质量分别为、w2o两轮用胶带连接,各绕两平行的固定轴转动，假设在第一轮上作用主动力矩M,假设在第二轮上作用阻力矩M。视圆轮为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量不计，试求第一轮的角加由于胶带与轮间无滑动，故有（b）联立求解以上三式，并将4=1gR：,J2=Iw2/?,F=Fnt52=62代入，可得轮1的角加速度为11-9如图11.43所示绞车，提升一重量为P的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩M。主动轴和从动轴的转动惯量分别为，、J2,传动比i=左，吊索缠绕在
14、从动轮Zl上，从动轮半径为R,轴承的摩擦力不计。试求重物的加速度。图11.43解：分别选主动轴、从动轮和重物组成的系统为研究对象，受力分析和运动分析如下图。对两轮分别应用动量矩定理，有主动轮:主动轮：Ji=M-FsRlJ2+-R1）2=FsR-PRg由运动学知其中：K=Fs,i=红=R=豆,联立求解以上三式，有ZlR1重物的加速度为11-10如图11.44所示均质杆AB长为/,重为片，8端固结一重为4的小球（球的半径不计），杆的。与铅垂悬挂的弹簧相连以使杆保持水平位置。弹簧的刚度系数为左，给小球以微小的初位移力，然后自由释放，试求杆AB的运动规律。解：选均质杆AB和小球组成的系统为研究对象，受
15、力分析如下图。由刚体定轴转动微分方程，有而尸=，=A0+in8）,这里为弹性在水平位置时的伸长量。由题意知道：杆AB处于水平位置时系统处于平衡状态，由平衡条件可知很容易求出由于8较小，可令SirlP/,COSe三三1,故刚体定轴转动的微分方程可写为上微分方程的通解可写为由初始条件M=O=%=牛，尢0=0,有A=牛,B=O杆AB的运动规律为11-11运送矿石的卷扬机鼓轮半径为R,重为W,在铅直平面内绕水平轴。转动，如图11.45所示。对O轴的转动惯量为J。，车与矿石的总重量为W,作用于鼓轮上的力矩为M,轨道的倾角为。不计绳重及各处摩擦。求小车上升的加速度及绳子的拉力。三11.45图11.44解：分别选整体和小车为研究对象，受力分析和运动分析如下图。对整体应用动量矩定理，有解得卷扬机鼓轮转动的角加速度为小车上升的加速度为由小车的运动微分方程，有解得绳子的拉力为11-12质量分
