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1、泰勒定理的应用浅析摘要泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广。泰勒定理建立了函数/(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系。拉格朗日中值定理为它的特例。基本上，一般教科书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成单位泰勒级数，但对在微积分中起着举足轻重作用的泰勒级数的应用讲得甚少。泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用。包括近似计算，求极限，求导数，判断级数以及广义积分的敛散性，证明一些等式和不等式。泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据，是数学分析课程的重要内容。给出了泰勒定理的不同证
2、明，讨论带不同余项的泰勒公式之间的关系，以及在积分计算、级数收敛性判断等方面的应用。关键词：泰勒定理；定积分；VaR目录1弓I曰22J22. 1泰勒与泰勒定理22. 2柯西与复变函数论33形式不一的泰勒定理43. 1带1.agrange余项的泰勒定理43. 2带Peano余项的泰勒定理43. 3带积分型余项的泰勒定理53. 4带柯西型余项的泰勒定理54泰勒定理的应用64.1泰勒公式在判断级数敛散性方面的应用64. 2利用带积分型余项的泰勒公式计算定积分74. 3利用带Peano余项的泰勒公式在无穷小问题中的应用74. 5在金融数学中的应用84. 5.1在VaR计算中的应用85. 5.2在债券定
3、价中的应用859少111引言函数是分析学的研究对象，简单而又基本的函数就是多项式函数，它具有形式简单的表达式和很好的分析性质，比如无穷可微性等。泰勒定理就是把函数用多项式近似表示的重要依据，利用该定理可以把对复杂函数的研究转化为一个多项式来处理。因此，泰勒定理是函数近似计算和理论探讨常用的重要工具，在分析学中具有重要地位，利用其展开式以及各种余项类型可以简单的解决一些复杂的问题。所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析的教学有重要意义。各种分析教材都强调函数展开的方法和技巧，泰勒公式的应用谈及很少，而且零星散布于分析教材的不同章节，对泰勒公式的应用进行了一些探讨。本文主要考虑对带各种余项的泰勒公式
4、的证明，以及它们之间相互递推关系，最后通过实例说明在运用过程中的一些技巧和方法。2泰勒公式的发展2.1泰勒与泰勒定理英国数学家泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。无穷级数几乎是和微积分同时产生的，早在17世纪微积分初创时期，无穷级数就是牛顿研究问题的一个重要辅助手段，他把较为复杂的代数函数和超越函数展开为无穷级数，再进行逐项微分或积分，实际情况表明，用级数来研究这些函数是卓有成效的。17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。1712年，在研究函数表的插值问题过程中，泰勒在牛顿一格里哥利内插公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，于1715年将该展
5、开式（泰勒展式）发表在增量法及其逆一书中，泰勒展式中的级数就是泰勒级数，泰勒的这一发现就是著名的泰勒定理。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，18世纪末，他在研究泰勒级数时给出了所谓的(实函数)泰勒定理，即/()=fs)+r(项X-。)+/-+/叱;+&2!n其中：M=/+(J)手二(vjv,称为拉格朗日余项.在此之前，1742年，马克劳林得到了上述展开式在x=0时的特殊情况，即马克劳林定理，但其中的展式都是带余项的，不是无穷级数的
6、形式.泰勒当时证明他的结论即泰勒定理时并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，直至19世纪20年代才由柯西给出的.2.2柯西与复变函数论复变函数论是实数函数论的推广和发展，产生于18世纪，瑞士数学家欧拉于1777年系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始应用于水力学和地图制图上，首创虚数单位“广，此后复数才被广泛承认和使用。19世纪，经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的努力，复变函数形成了非常系统的理论，不仅渗透到其他数学分支，同时在热力学、流体力学和电学方面有很多的应用。法国数学家柯西(CaUChyAUgUSti
7、n1.oUiS)最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义，柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。自1821年起的25年左右的时间里，几乎是柯西独自一人在开发复变函数理论，为复变函数论的发展奠定了基础。他研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。他还研究了复变函数的级数展开，指出一个复变函数/可以按照马克劳林公式展开为一个察级数，且塞级数对所有能展开为马克劳林公式的点Z都收敛，同时推出了著名的柯西积分公式，从而在复数
8、范围内使用柯西积分公式证明得到了相应的(复变函数)泰勒定理。3形式不一的泰勒定理3.1 带1.agrange余项的泰勒定理定理1：若函数f(x)在a,b上有直到阶的连续导数，在(,6)内有+1阶导数，则对任意给定的X,xo,b,至少存在一点J(,b),使得：Xx)=(xo)+(X-Xo)+.+乙粤(-oy+Rn(x)(1)1!nl式(1)称为泰勒公式，其中式尸室华(XT。产(f在x。与X之间)为5+1)!1.agrange余项。运用柯西微分中值定理证明该结果。为此，引入辅助函数PrI(X)=f(x)+,(x)(x-Xo)+(x-Xo)m(2)nRMX)=f(x)-Pn(x),11(x)=(x-
9、xo)(w+l)显然，加和Qn(x)在(,6)内具有直到+1阶的导数，且火(M=S)(XO尸0,(XO尸SIS)(XO)=0.不防设XOVX,则火(X)和Q?(x)在(X0,X)内重复次，使用柯西微分中值定理，得=Rn(X)-Rn(Xo)=R(。)二一(。)-(M)二二RJ飞)QM=x)-xo)=。”(8=QM切-。”(词=0(%)其中4gX).注意到RaH)=/】),0(|)=(+1)!,于是得到2*(ZJ+I)/K(n+l)/KRn(X)=/(X)-Pfl(X)=4Qlt(X)=Z(x-Xo)rt+,3.2 带Peano余项的泰勒定理定理2：若函数兀V)在点封存在直至阶导数，有：/(x)=
10、y(xo)+,，)(XX0)+.(Xxo)11x)1!nl其中K(x尸O(Xxo)为PeanO(皮亚诺)余项。证明该问题就是要证明R(x)yx)P(x)当XfO时，火(x)是比(xxo)高阶的无穷小，其中P(x)如式Q).注意到RMX)在包含x的小邻域内(一1)阶连续可微，n阶可导，且在点Xo处R”(M=.=&(XO尸0,于是运用罗比达法则n次,得1. Rn(x)vR1.(X)1.Rnx)Rj(词八Iim=Iim=Iim=OXTX(x-A)aon(n-1)2(x-x()XfXonlnl3.3 带积分型余项的泰勒定理定理3：若函数f(x)在点x的领域U(XO)内有连续的n+1阶导数，则VxU(x
11、O),有fix)=x)+(对(x-xo)+.+xo)(xX)11+zj(x)(3)1!！其中Rtl(x)=-尸钊(XT)为积分型余项，并且n.Rn(x)=(x-Xo)n1f5T(m+e(x-*)(l)4(4)证明运用牛顿-莱布尼兹公式以及多次使用分部积分法，得/(x)=(x0)+7,(/=/(X。)一1J(R(KT)=/*。)+f(x。)(X_/。)+,(r)(-t)dt=/(x。)+(Xo)(X-X。)一;J(f)d(xT)2=f(xo)+f(xo)(x-Xo)+*(x()(x-x()2fm(t)(x-t)2dt=/*0)+(XD)(XXO)+(Xo)(xX0)2+f(，)(0)(-Xo)1
12、1+2n-Xftx-ty,dtnljo最后，如果做变量代换S=W+f(xX0),则得到式(4)o3. 4带柯西型余项的泰勒定理定理4：若函数心)在点xo的领域Uao)内有连续的+1阶导数,则xU(xO),有y(x)=y(xo)+(Xxo)+.+xo)(xxo)11+w(x)(5)1!！其中Rll(x)=-0,+n(xo+0(x-0)(l-)n(x-xo),+1(0l),特别当X片0,！则又有简单形式H(X尸上广钊)(1-。)/M(0l),此处心(X)统称为柯西！型余项.证明由定理3,再结合推广的积分中值定理，容易推得该结果。现在可以比较4个定理反应的泰勒公式的特点。首先，余项的形式不同，带Pe
13、anO余项的泰勒公式以高阶无穷小的形式给出，是函数展开表达式的一个定性描述，而带1.agrange余项和柯西型余项的泰勒公式都是以中值的形式给出，是函数展开表达式的一个定量描述，对用多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计，而积分余项是个没有近似误差估计的余项。其次，从推导过程来看，带1.agrangC余项的泰勒公式是用柯西中值定理证明，带PeanO余项的泰勒公式是用洛必达法则证明，带积分余项的泰勒公式是重复运用分布积分法推得.同时运用广义上的积分中值定理易看出，带1.agrange余项的泰勒公式和带柯西型余项的泰勒公式都是带积分余项的泰勒公式的一个推论.注意到若火x)在点xo的某个邻域上
14、有S+1)阶连续导数并且一直有界，则由1.agrange余项可以推得Peano余项。4泰勒定理的应用3.1 泰勒公式在判断级数敛散性方面的应用正项级数敛散性的比较判别法，本质上就是要求寻找另一个敛散性已知的级数，来比较它们的通项是否同阶无穷小，泰勒公式就给出了找同阶无穷小的方法。例1：设函数段)在点XO=O具有连续的二阶导数，且Iim曲=Ao试证明：x0X若A0,则级数/(，)发散；若A=O,则级数/(1)绝对收敛。W=I=l解由函数兀V)在点Xo=O具有连续的二阶导数，且Iim40=A,可知人0尸OXfO及/(O尸A把y(x)在XO=O展开成带二阶1.agrange余项的泰勒公式的形式，得/(X)=/(0)+,(0)x+X2=Ax+X2其中j在0与X之间。令X=1.,得AI)=A1.华go/；(6)nn2).nn若A0,则n充分大的时，人工)不变号，可认为京为同号级数。从式(6)可以看出，当n8时，(ln)是与J.同阶的无穷小量，所以岂/(_1.)与之，敛散性相同，又乞1.发散,从而之d)发散。/1-1
