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1、专题20.相似三角形重要模型母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。模型1.“母子”模型（共边角模型）【模
2、型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.CBADbDBC图1图2图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1,ZC=ZABD;结论：bABDsAACB,AB2=ADAC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2,NAC8=90。，CDA,A;结论：ACDAABCACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD1=DADB3）“母子”模型（变形）条件:如图3,ZD=ZCAE,AB=ACi结论：4ABDsREC限4）共边模
3、型条件:如图1,在四边形ABCQ中，对角线8。平分/ABC,ZADB=NDCB,图4结论：BD2=BA-BC:例1.（2022贵州贵阳中考真题）如图，在a48C中，。是AB边上的点，NB=NACD,AC.AB=,2t则AoC与CB的周长比是（）A.k2B.1:2C.1:3D.1:4)A例2.(2022春江苏九年级专题练习)如图，在RUSABC中，0AC8=9O。，点。在AB上，且丁=.ACAB(1)求证IMCD00ABC；(2)若Ao=3,BD=2,求Co的长.例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C,。在线段AB上，APCO是等边三角形，且AP8=12（F,求证:(1)ACPsAPDB,
4、(2)CN=ACBD.例4.（2023湖南统考中考真题）在RtZXABC中，NBAC=90。，Ao是斜边BC上的高.（1）证明：ABZMC4;（2）若AB=6,BC=IO,求8。的长.A例5.（2023.浙江中考模拟）如图，在一ABC中，0ACB=90o,CDBAB.（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为X轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系（如图2）,若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端
5、点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与团ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例6.（2022陕西汉中九年级期末）如图，Co是等腰直角.ABC斜边A8的中线，以点。为顶点的N瓦加绕点。旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F,。尸与AE交于点M,DE与BC交于点N,且ZS）P=45。.如图1,若CE=CF,求证：QE=OF；如图2,若CEb,求证：CD2=CECFi（3）如图2,过力作E）G_1.8C于点G,若CD=2,B=应，求ON的长.图I图2例7.(2023浙江九年级期末)(1)如图1,在&A
6、8C中，。为AB上一点，AC?=AA8.求证：ZACD=ZB.(2)如图2,在ABCDt七是AB上一点，连接AC,EC.已知AE=4,AC=6,8=9.求证：24)=3EC.(3)如图3,四边形ABCQ内接于O,AC、BD相交于点E.已知。的半径为2,AE=CE,AB=AE,BD=23,求四边形ABCO的面积.例8.(2022春广东深圳九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1,在四边形ABCQ中，对角线8。平分/ABC,ZADB=ZDCB,求证：BD?=BABC;【尝试应用】(2)如图2,四边形A8C。为平行四边形，尸在Ao边上，AB=A/，点E在BA延长线上,连结，BF,CF,若NEFB=N
7、DFC,BE=4,BF=5,求AO的长；【拓展提高】(3)如图3,在aA8C中，。是BC上一点，连结Ao,点E,产分别在AO,AC上，连结8E,CE3AFCE,EF,若DE=DC,ZBEC=ZAEFtBE=16,EF=1.=-,求一的值.BC4FC课后专项训练AO112023成都市九年级期中）如图,矩形ABO中尸是OC上一点，BFlAC,垂足为E方=,CM14D.1252. （2022浙江衢州统考中考真题）如图，在.ABC中，AB=ACiZB=36,分别以点AC为圆心，大于3AC的长为半径画弧，两弧相交于点DE,作直线。石分别交AC,BC于点F,G.以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点“，
8、连结AG）.则下列说法箱送的是（）A.AG=CGB.AB=IAHABC.CAUBAGD.BG2=CGCB3. （2023湖北恩施校考模拟预测）如图，在Rt2A8C中，NACB=90。，Co_1.AB于。点，下列关系中不正确的是（）A.BC2=BDABB.CD2=ADBDC.AC2=CDABD.AC2-BC2=AD2-BD24. （2023山东济南统考中考真题）如图，在/BC中，AB=AC,ZeAC=36,以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点O,再分别以3,。为圆心，以大于;如的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线Cp交AB于点E,连接OE.以下结论不氐卿的是（）nA.NBCE=36B.BC
9、=AEC.=D.=AC2Sabec25. （2023云南临沧统考三模）如图，在11BC中，。是AB上的点，ZB=ZACD,AC=I,AB=2,WJ.ACD与ABCD的面积比为（）6. （2023山东东营统考中考真题）如图，在IABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC于点。，；分别以点O,E为圆心，大于g。E的长为半径作弧，两弧交于点尸；作射线C尸交A8于点G,若AC=9,BC=6,BCG的面积为8,则ACG的面积为.7. （2020山西统考中考真题）如图，在RABC中，NAC3=90。，AC=3,BC=4,CDlAB,垂足为E为BC的中点，AE与CO交于点尸，则。尸的长为.8
10、. （2022河北邢台校考二模）如图1,在&ABC中，AB=AC,BC=24,tanC=，点尸为BC边上一12点，则点。与点A的最短距离为.如图2,连接AP,作N4PQ,使得NPQ=NB,PQ交AC于Q,9. （2023内蒙古统考中考真题）如图，AeAaCE是正五边形ABCQE的对角线，AO与CE相交于点八下列结论：CF平分/ACZ）；AF=2DF;四边形ABCr是菱形；AB?=ADEF其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）10. （2020广东广州统考中考真题）如图，正方形ABCz）中，ABC绕点A逆时针旋转到A5C,AB,AC分别交对角线4Q于点E尸，若/1七=4,则斯4）的值为.1
11、1. （2021四川南充中考真题）如图，在ABC中，。为BC上一点，BC=gB=3BD,则AO:Ae的值12. (2022四川宜宾九年级期末)如图，在ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,0DEC=0B.(1)求证：0AEDE0ADC；(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.13. (2022江苏盐城中考真题)如图，在ABC与VAEC中，点。、D0分别在边BC、BC上，且o)A?/)AR,RtACSCfy,若,则ABDCOAE0.请从=；-=-；-l-yK-Z,xV-Z-X-zZ-XNB4)=N夕AD这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明.14. (2023湖南统
12、考中考真题)在RtZXABC中，ZBC=90o,AO是斜边BC上的高.(1)证明：ABD,CBA；(2)若A8=6,BC=IO,求BZ)的长.A15. （2023宁夏统考中考真题）综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.探究发现：如图1,在.A8C中，NA=36。，AB=AC.（1）操作发现：将以8C折叠，使边BC落在边84上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点。，连接OE,DB,则NBDE=。，设AC=I,BC=x,那么AE=（用含X的式子表示）；（2）进一步探究发现：挈W=苴二1,这个比值被称为黄金比.在（1）的
13、条件下试证明：挈G=叵。；腰AC2腰AC2拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的IBC是黄金三角形.如图2,在菱形ABCD中，NRAo=72。，AB=X.求这个菱形较长对角线的长.16. （2023广东九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足Nl=N2,则称点P为这个三角形的“理想点.如图，若点。是JlBC的边相的中点，AC=22AB=4,试判断点。AB=5,AC=4,若点O是不是-ABC的“理想点，并说明理由；（2）如图，在心ABC中，ZC=90o,是ABC的“理想点”，求CO的长.17. （2022江西统考中考真题）如图，
14、四边形ABC。为菱形，点E在AC的延长线上，ZACD=ZABE.求证：ABCs,AE8：当4B=6,AC=4时，求AE的长.18. （2022湖北武汉校考模拟预测）已知，点。在的边BC上，连接4。.（1）如图1,若ZBAD=Ne.求4证：BAS。/。；如图2,若ADJ.BC,BD=5,CD=3,tanZAC=-.求线段AO的长；如图3,M、N分别是AC、AB上的两点，连接MN交A。于点P,当AB=AC,匝:始:尻7=256时，若ZAPN=ZC,MP直接写出黑的值-图1图2图319. （2022湖南长沙校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”.例如，如图1,在ABC中，AQ为边BC上的中线，AABD与ABC相似，那么称.ABC为关于边BC的“华益美三角.BD图1图3如图2,在-ABC中，BC=壶AB,求证：ABC为关于边BC的“华益美三角”；（2）如图3,己知以8C为关于边BC的“华益美三角，点。是MBC边Be的中点，以8。为直径的囹。恰好经过点A.求证：直线C4与Oo相切；若口。的直径为2#，求线段AB的长;已知JlBC为关于边BC的“华益美三角，BC=4,ZB=30o,求JlBC的面积.20. （2022浙江台州统考一模）已知
