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1、6.2平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算新课程标准解读核心素养借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其数学抽象、直观想几何意义象百G知识梳理读教材-基础落实高效学习蛇情境导入C如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点8）,下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.B问题（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移;（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？Ia新知初探.知识点一向量加法的定义及三角形法则1 .向量加法的定义求两个向量一和的运算,叫做向量的加法.2 .=角形法则已知非零向量,b,在平面内取任意一点A,作荏=,BC=b,则向量而
2、叫做。与b的和，记作即+b=而+尻=前.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.B提醒运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.知识点二向量加法的平行四边形法则1.以同一点。为起点的两个已知向量,b,以OA,。8为邻边作。0AC5,则以。为起点的向量瓦（OC是。oAeB的对角线）就是向量。与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.对于零向量与任意向量”，规定+O=O+=.提醒（1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.知识点三向量加法的运算律及模之间的关系1 .
3、向量加法的运算律（1）加法交换律：a+b=b-g；（2）加法结合律：（+b）+c=+（b+c）.2 .I+bI与II,IbI之间的关系一般地，我们有Ia+bIWll+Ibl,当且仅当,b中有一个是零向量或b是方向相同的非零向量时，等号成立.提醒（1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.自做一做1 .在平行四边形ABCO中，下列结论中正确的有（填序号）.AB=DCi而+而=被（三）AB=BD-I-ADi（三）BC+CD=DB.答案：2 .如图所示，在矩形A8C0中，A-OB-A
4、D=.答案：前3 .化简丽+而+丽=解析：pb+op+b=pb+b-op=p-op=o.答案：04 .如图所示，已知向量,b,C不共线，作向量+b+c.解：如图，在平面内任取一点0,作成=mAB=b1则砺=+b;再作配=c,以。8,OC为邻边作QOBOC,则说=+b+c.题型突破析典例技法归纳活学活用量的加法运算法则【例1】(1)如图，用向量加法的三角形法则作出。+方；(2)如图，用向量加法的平行四边形法则作出图图解(1)在平面内任取一点。，作HK=,AB=b,再作向量而，则而=+如图所示.(2)在平面内任取一点0,作万?=0,而=从以OA,08为邻边作qO8C4,则历=+b.如图所示.通性通
5、法求作和向量的方法(1)利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接,从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接；(2)利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.G跟踪训练1 .如图所示的方格纸中有定点。，P,Q,E,F,G,H,则加+而=()A.而B.OGC.FOD.EO解析：C以OP,OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则而+而=而?，由而和丽的模相等，方向相同，得而=而，即而+的=前.2 .菱形A8C。中，NBA
6、D=60。,AB=f则IBC+CDI=.解析：因为在菱形ABeo中，/840=60。，所以AABO为等边三角形，所以IBC+CD=BD=AB=.答案：1题型二1向量加法运算律的应用【例2】化简：(1) BC+AB；(2) DB+CD+BC(3) AS+DF+CD+FC+E4.解(1)bc-ab=ab-bc=ac.(2) DB+CD+BC=BC+CD-DB=(BC+CD)+丽=励+而=O.(3)F+DFCD+C+F=ABFCCD+DFF4=4CCD+DF+F4=AD+DF+fa=aP+fa=o.通性通法1 .当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.2 .多个向量的加法运算可以按照任意的
7、次序与任意的组合进行，如Q+b)+(c+d)=(b+d)+(+c):+b+c+d+e=d+(+c)(b+e).3响量求和的多边形法则：否苍+而彳+取7+4n-ln=京K特别地,当A“和小重合时，石石+初7+取7+厂方=OCf跟踪训练1 .已知正方形A5C。的边长等于1,则lABAD-BC+DCI=.解析：IAB+AD+BC+DCI=IAB+BC+AD-DCI=IAC-ACI=2IJ?I=22.答案：2鱼2 .根据图示填空，其中Q=反，b=CO,c=OBfd=BA.(1) +)+c=；(2) 6+d+c=.解析：(1)a+b-c=DC+CO+OB=DB.(3) b-d-c=c-BA-OB=C-O
8、B+BA=CB+BA=CA.答案：(1)砺(2)CA嬴显的实际应用ffJ3在静水中船的速度为20mmin,水流的速度为Iommin,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解作出图形，如图.船速。斑与岸的方向成角，由图可知o*+v般=U实称，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.在RtACD中，I而I=IABI=IoM=IOmmin,IDI=II=20mmin,cosa=gIADI10_1202=60o.故船行进的方向是与水流的方向成120。角的方向.国母题探究1 .(变条件，变设问)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变,求船实际行进的方向的正切值(
9、相当于与河岸的夹角).解：如图所示，I而I=IFCI=IVeI=20mmin,AB=v=10mmin,则tan8AC=；黑g=2,即为所求.IABI2 .(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km?解：由题意可知IACI=yIADI=y20=l()3(mmin)=竽(km/h),则经过3小时，该船的实际航程是3X苧=W(km).通性通法(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题：(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题；(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.跟踪训练一架救援直升飞
10、机从A地沿北偏东60方向飞行了40km到达8地，再由8地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.解：如图所示，设近，尻分别是直升飞机的位移，则前表示两次位移的合位移，即AC=A-i-BC.在RtABD中，I丽I=2()km,IADI=203km.J22IADIIDCI=403km,NCAO=60,即此时直升飞机位于A地北偏东30方向，且距离A地40Jkm处.随堂检测.1 .化简通+前+65=()A.0B.0CED.e2解析：BAB+BC+CA=AC+CA=H,故选B.2 .已知正六边形ABCoE凡则瓦5+而+屋=()A.CFB.DC.BED.0解析：C因为ABCQE户为
11、正六边形，所以而二/，所以瓦5+而+而=瓦?+而+而=露.故选c.3 .已知,b,C是非零向量，！1(+c)+)，b(+c),力+(c+0),c+(。+方)，c+(b+)中，与向量+b+c相等的向量的个数为()A.5B.4C.3D.2解析：A因为向量的加法满足交换律和结合律，所以(0+c)+b=b+(+c)=b+(c+)=c+()=c+(b+)=+b+c,故选A.4 .如图所示，。为正六边形ABCz)EF的中心，化简下列向量:OaAB(1) OA+OC=；(2) BC+FE=；(3) OA+FE=.解析：(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形，。3是其对角线，故5+浙=砺.(2)因为就=而，故阮+方与阮方向相同，长度为近的长度的2倍，故前十而=前.(3)因为彷=而，故65+R5=万5+万5=o.答案：(1)OB(2)AD(3)0
