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1、产复数7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念新课程标准解读核心素养1 .通过方程的解，了解引进复数的必要性数学抽象2 .理解复数的基本概念及复数相等的充要条件逻辑推理0-知识梳理读教材基础落实高效学习J七此情境导入,数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x+4=3的方程在整数范围内有解；因为类似2x=5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解；因为类似W=7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充
2、成实数，使得类似f=7的方程在实数范围内有解.问题我们已经知道，类似f=-l的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？新知初探C知识点一复数的有关概念1 .复数(1)定义：形如+/(,8R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1.复数a+b的实部是一。，虚部是b；(2)表示：复数通常用字母Z表示，即z=+6i(,R).2 .复数集（1）定义：全体复数构成的集合C=+历Ia,6R叫做复数集;（2）表示：用符号C表示.侈想一想1 .复数7+i（wR）的实部是?，虚部是i,对吗？提示：不对.2 .复数z=+bi（小b三R）可以是实数吗
3、？满足什么条件？提示：匕=0时，复数为实数.知识点二复数的分类1.复数z=+bi（,0R）可以分类如下：复数（实数（皿），I虚数（b0）（当a=。时为纯虚数）.3 .集合表示：知识点三复数相等设,b,c,d都是实数，那么a+/?i=c+dio=c且b=d.提醒在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a,b,c,dR,即当atb,c,dR时，+方=c+diuw=c且b=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.日做一做1 .已知复数Z满足z=2-i,则复数Z的虚部是（）A.-2B.-1C.lD.2解析：B由题意，复数Z满足z=2-i,根据复数的概念，可得复数Z的虚部为一1.故选B.2 .在2+7,85i
4、,（1-3）i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）解析：C,(l-5)i是纯虚数，27,0.618是实数，8+5i是虚数.故纯虚数的A.0C.2B.1D.3个数为2.3 .若(-2y)i=2x+l+3i,则实数工一丁=.解析：(x-2y)i=2x+1+3i,，F+1,解得,?.*.-y=-(-2y=3,U=-I244答案：；4题型突破析典例O-技法归纳活学活用1.-.一.题型卡数的概念【例1】(1)说出下列复数的实部和虚部：一2+蓑2i,当，-3i,i,0；(2)判断N*,N,Z,Q,R,C的关系.解(1)-2+,2i,y,-3i,i,0的实部分别为一2,2,y,0,0,0；虚部分别为3
5、1,0,-3,1,0.(2)根据各数集的含义可知，N+SNSZQSRC.通性通法复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若z=+历，只有当，bWR时，。才是Z的实部，力才是Z的虚部，且注意虚部不是历，而是从(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；(3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的.Zftl踪训练1.已知复数z=-9+3(i为虚数单位)，则Z的虚部为()A.-BWC三D.-5555解析：Cz=+3的虚部为最故选C.2.设集合A=虚数,8=纯虚数,C=复数,贝JA,B,C间的关系为()A.SBSCB.B三gCC.BCADAiCB解
6、析：B根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.题型二复数的分类【例2】当机为何实数时,复数Z=中+面-2l15)i是下列数？(1)虚数；(2)纯虚数.解当+3=0，即*5且相W3时，复数Z是虚数.(m2-2m150,mz-2m-lS0,即m=3或-2时,复数Z是纯虚数.国母题探究1 .(变设问)本例中条件不变，当Z为何值时，复数Z为实数?解：当F+30,即加=5时，复数Z是实数.2 .(变设问)本例中条件不变，当2为何值时，z0.m2-m-6解：因为z0,所以Z为实数，需满足m+3U解得机=5.m2-2m-15=0,通性通法(1)化标准式：解题时一
7、定要先看复数是否为+bi(4,R)的形式，以确定实部和虚部；(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；(3)下结论：设所给复数为z=+8i(,b三R)：Z为实数Ub=0;Z为虚数E0;Z为纯虚数Utt=O且b0.日跟踪训练1 .若复数Z=(x2-100)(工一10)i为纯虚数，则实数X=()A.-10B.1OC.100D.10或10解析：A=Z为纯虚数，.x2-100=O同时-100,x=-10,故选A.2 .若复数Z=(m+2)+(w2-9)i(机R)是正实数，则实数m=.解析：因为复数Z=(帆+
8、2)+(-9)i(mR)是正实数，由小一9=0,解得?=3或7=3,当初=3时，m+2=5RR+,符合题意；当用=-3时，m+2=1,不符合题意，所以实数?的值为3.答案：3题型三两个复数相等【例3】(1)已知(浮+7m+10)+(m2-5fn-14)i=0,求实数帆的值;(2)已知x+y一盯i=24i-5,其中x,R.求x,y的值.、iTA/口+7m+10=0,解(1)由已知得,(Jn2-5Tn-14=0,解得m=-2.(2)因为X,yR,所以x+yR,xy三R,八g于zbfy=-5,依题意，M-y=24,解得%=3,或卜工8,Iy=-8Iy=3.通性通法复数相等问题的解题技巧(I)必须是复
9、数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.Z跟踪训练1 .设,b为实数,若复数+l+抚=l+i,则()Aa=l,b=1B.=3,b=1C.=O,b=1D.=1,b=3解得卜=0,故选C.Ib=1.解析：C由+l+比=1+i可得1.Ib=1,2 .若实数x,y满足(x+y)+(1.y)i=2,则xy=.解析：由(xy)+(-y)i=2(x,yR)得=?解得F=所以孙=1.-y=O,Iy=1,答案：1随堂检测，1 .设复数Z=34i,则Z的实部与虚部的和为（）A
10、.-lB.1C.5D.7解析：A由z=3-4i知实部为3,虚部为一4,故实部与虚部的和为一1.故选A.2 .已知R,若复数z=+2+i是纯虚数，则。=（）A.0B.2C.-lD.-2解析：D因为z=+2+i是纯虚数，所以（标+2。=。，解得。=-2.故选D.0,3 .下列命题中，真命题的个数是（）若X,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；若力WR且。，则+ib+i:若Jr2+）?=。，则=y=o.A.0B.1C.2D.3解析：A由于X,yC所以x+yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题；由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题；当=1,y=i时，J2+?=。成立，所以是假命题.故选A.4 .设R,l+i=+i（i为虚数单位），则=（）A.-lB.0C.lD.1或一1解析：C因为aR,1+3二。+。所以有1=，a2=l,即4=1,故选C.5 .若xii2=y+2i,fyR,则复数x+yi=.x=2所以x+yi=2+i.y=1，答案:2+i
