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1、题型突破析典例CS嘉提刀漆与球有关的“切”“接”问题技法归纳活学活用空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R截面圆的半径r及各几何量之间建立关系.题型一外接球【例1】（1）设直三棱柱A8CA8G的所有顶点都在一个球面上，AB=AC=AAyfC=120o,且底面AABC的面积为2百，则此直三棱柱外接球的表面积是（）A.1611B.竺叵C.4011D.64
2、113（2）已知三棱锥A-BCo的侧棱长为2通，底面是边长为2J的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为.解析（1）设AB=AC=AAi=?,因为n84C=120,所以2XaX根XSinl200=2遥，11=22,而ZACB=30。，所以二冬=2r（厂是AABC外接圆的半径），r=22,如图，sn30设M,N分别是AABC和AAiBG的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN的中点。是三棱柱ABC-A由IG的外接球球心，OM=TMN=IAl=,所以外接球半径H=OA=（2）如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面48CO的中心且Ao垂直于底面8CD,0,在线段40上，0,为外接球球心，令Oa=OD=R,O
3、O=|。E=IX25x苧=2,AD=25,：.AO=AD2-OD2=41：.OO-4-Rt又O。+。?=。，D2,.（4-r）2+4=R2,解得R=.；.4球=扣?3=罢11.答案（I）C（2）36通性通法常见几何体外接球问题的求解策略(1)正方体、长方体的外接球：正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.(2)棱锥的外接球：以下四种类型的三棱锥可以补型为长方体求解.三棱锥P-ABC三条三棱锥P-ABC四个侧枝两两互相垂直面均为直角三角形三棱锥P-ABC三棱锥PYBC(3)圆柱、圆锥的外接球：作轴截面，将空间
4、问题转化为平面问题.农为外接球的半径.f+(口跟踪训练1.据九章算术记载，“鳖疆”为四个面都是宜角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖席”，PAJgffiABC,AB1.BC,且PA=A8=BC=2,则三棱锥外接球表面积为（）A.10兀B.1211C.1411D.1611prAP2A-AB2A-BC2+4+4解析：B如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径R=卷=A=匕尹=5.所以三棱锥外接球表面积S=47rN=47iX3=12兀.2.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为（）A5511n821120511、64211A.B.C.-D.-6333解析：B如图，。为外接球
5、球心，母线6所的长度为2,底面半径r=。28=1,易得外接球半径R=OB=J外接球体积V=（）兀故选B.题型二内切球【例2】(1)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为等，那么这个正三棱柱的体积是()A.963B.163C.243D.483(2)若圆台的上、下底面半径分别为r,R,则其内切球的表面积为()A.411(r+R)2BAnz2R2CA11RrD.11(R+r)2解析(1)设正三棱柱的底面边长为,则球的半径正三棱柱的高3263为争.又Vii=3=y-3a=43.Vu=(43)2y43=483.(2)如图，BE=BO2=rtAE=AOi=R,又0E_1.A5且
6、80_1.0A,.,.AE00EB,C-OEr=AEBE=Rry工球的表面积为411OE2=411?/-.答案(I)D(2)C通性通法常见几何体内切球问题的求解策略(1)正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设边长为白的正方体，其内切球半径为R=；;(2)圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r,高为力，R=,rh.提醒棱锥的内切球：用等积法求解，设棱锥的体积为匕表面积为S,R=卷G跟踪训练1 .正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.3B,33c3D-3解析：C设正方体的外接球的半径为R,内切球的半径为八棱长为1,则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R=5,所以R=当，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2-1,即T所以百，正方体的外接球与内切球的表面积之比为渭芸=3.2 .四棱锥P-ABCQ的底面ABCO是边长为6的正方形，KPA=PB=PC=PDf若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A.6解析：DB.5D.-4过点P作尸“_1_平面ABCO于点”.由题意知，四棱锥P-A8。是正四棱锥,内切球的球心。应在四棱锥的高产”上.设PH=，易知RtAPMOSRt所以要FH9，即1，解得（力=0舍去），故选D.PF3fl2+324
