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1、专题10含参函数的极值、最值讨论考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设。0,函数4r)=x2-(+l)x+4(l+lnx).(1)若曲线)，=Kt)在(2,2)处的切线与直线y=-+l垂直，求切线方程.(2)求函数Kr)的极值.解析(1)由已知，得了(x)=X-(+l)+“xO),又由题意可知)，=%)在(2,A2)处切线的斜率为1,所以/(2)=1,即2-(+l)+=l,解得=0,此时区2)=22=0,故所求的切线方程为y=-2,a2-(l)xa(-l)(-)(21fW=-(+l)+-=-_Br0).当OVaVI时，若(0,。)，则/(x)0,函数外)单调递增；若x(mI),则/(x)V0,
2、函数外)单调递减；若x(l,+),则/(x)0,函数人处单调递增.此时x=是人处的极大值点，x=l是人外的极小值点，函数火x)的极大值是4a)=%+Hn,极小值是川)=一今(-I)2当。=1时，/(X)=七1.K)，所以函数兀0在定义域(0，+8)内单调递增，此时7U)没有极值点，故无极值.当时，若XW(0,1),则/()0,函数Ar)单调递增；若XW(1,。)，则/(x)V0,函数1为单调递减；若W(m+),则/(x)0,函数Kr)单调递增.此时X=I是r)的极大值点，x=a是Kr)的极小值点，函数Kt)的极大值是川)=一去极小值是加)=52+ana.综上，当OVaVI时，兀0的极大值是一%
3、+Hnq,极小值是-劣当a=1时，火外没有极值；当al时“X)的极大值是一*极小值是一52+Hna.例2已知函数式X)=InX一以(aR).(1)当时，求/(%)的极值；(2)讨论函数人只在定义域内极值点的个数.11112X解析(1)当a=时，r)=ln-中，函数的定义域为(0,+8)且/(彳)=；-2=”7，令/(x)=0,得x=2,于是当X变化时，%),加)的变化情况如下表.X(0,2)2(2,+oo)f0一In2-1故外)在定义域上的极大值为y(x)et大o=y(2)=ln21无极小值.I1一(2)由(1)知，函数的定义域为(O,+),f(x)=a=当a0在(0,+8)上恒成立，则函数在
4、(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x(,J,则/(x)0,若XWG，+oc),则/()O时，函数y=(x)有一个极大值点，且为x=.3I例3设於)=Xinx-2ax2+(31)x.若g(x)=(x)在1,2上单调，求的取值范围；(2)己知人r)在x=l处取得极小值，求。的取值范围.解析(1)由/(幻=12一30+3m即g(x)=ln-30r+30,x(0,+),g(x)=：3,g(x)在1,2上单调递增，.-30对Wl,2恒成立，即吟对xl,2R亘成立，得好!；g(x)在1,2上单调递减，一300对xl,2恒成立，即。弓:对我七口，2讨亘成立，得“,由可得的取值范
5、围为(一8,u,+。(2)由(1)知，当0时，/(x)在(0,+oo)上单调递增，.e(0,1)时，/(x)0,4幻单调递增，力外在X=I处取得极小值，符合题意；当01,又/在(0,上单调递增，.W(0,1)时，/(x)0,(x)在(O,I)上单调递减，在(I,5上单调递增，7U)在X=I处取得极小值，符合题意；当=g时，=1,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，x(0,+oo)时，/(x)0,KX)单调递减，不合题意；当白g时，0O,火x)单调递增，当(l,+8)时，/(x)0,函数g(x)单调递增；当00,X(0,幻时，g(x)0,函数g(x)单调递增，XW七，+，)
6、时，(x)0时，g(x)的单调增区间为(0,/)，单调减区间碣,+8).(2)由(D知，/(l)=0当0时，/(X)单调递增，所以当X(0,1)时，/(x)V0,人用单调递臧；当X(l,+8)时，/(x)0,“X)单调递增.所以Rr)在X=I处取得极小值，不合题意.当OVaVT时，方1,由(1)知/(在(0,灯内单调递增，可得当XW(0,1)时，/。)V0，当XW(1，幻时，/(幻0.所以儿1)在(0,1)内单调递减，在(1,期内单调递增，所以Kr)在x=l处取得极小值，不合题意.当=T时，方=1,/(x)在(0,I)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以当x(0,+8)时，/(x)0,/
7、U)单调递减，不合题意.当时，0*,段)单调递增，当(1,+8)时，/(x)0.(1)求函数Ar)在区间(0,+8)上的零点个数；(2)函数尸(幻的导数尸=。)加：)，是否存在无数个(l,4),使得Ina为函数Fa)的极大值点？请说明理由.解析(ia)=(x岸当Oaq时，)vo,於)单调递减；当以时，)o,y单调递增，所以当Xe(0,+8)时，)min=7(g，因为t)勺9)=一表0,4+()=10，所以存在we1+5使AXo)=0,且当OOyo时，A)vo,当QM)时，/)乂).故函数r)在(0,+)上有1个零点，即即.(2)方法一当Gl时，InG0.因为当x(0,Ina)时，exa0.由(
8、1)知，当X(0,沏)时，於)0;当Xea0,+8)时，贝普乂).下面证：当w(l,e)时，Inaa0,即证y(ln4)0,所以gx)在(1,e)上单调递增，由g(l)=-g0,所以存在唯一零点7oW(l,e),使得/(o)=O,且x(l,的)时,g(x)0tg(x)单调递增.161e*所以当Xe(1,e)时，g(x)maxg(l),g(e).由g(l)=%0,(e)=60,得当(1,e)时，g(x)0.故y(ln0)0,OVlnaa0.当OaVlna时，ex-a0tx)0,尸(X)单调递增；当InaaaO时，d一。0,4x)0,F,(x)=(ex-a)0,尸(X)单调递减.所以存在a(l,e
9、)(l,4),使得Ina为尸(x)的极大值点.方法二因为当XW(0,Ina)时，ex-a0.由(1)知，当X(0,xo)时，7(x)0;当X(xo,+8)时，兀0乂).所以存在无数个。(1,4),使得Ina为函数F(X)的极大值点，即存在无数个。(1,4),使得Ina%o成立，由(1),问题等价于存在无数个(l,4),使得41n)0成立，因为y11n)=(ln-1-5+I=Hna一4一点+1,记g(x)=xln-x放+1,x(l,4),(x)=ln%-,(1,4),设x)=gO,所以增递调上7俘在3n2=I,g为因所以存在唯一零点fo(,2),使得gpo)=O,且当x(,fo)时，g(x)0,
10、g(x)单调递增;-31F所以当XW2,2时，g(x)min=go)=folno-布一之+1,由g（三）=0,可得Info=呈代入式可得g(x)min=go)=-o+l,当meg2)时，g()=-t+=(62)-*-*0,所以必存在(,2),使得g(x)0,即对任意(,2),in)0,g(x)O,Jg(X)在(0,+8)上是增函数，函数g(x)无极值点.cQr2+(l)x+1GT)(X+1)zs1当白0时，g(x)=,令g(x)=O得X=-.当x(,)时，g(x)O;当X七，+时，g(x)0时，函数g(x)有极大值专一In,无极小值.2.设函数/(x)=2-(4+l)x+40+3ex.若曲线y=U)在点(1,川)处的切线与X轴平行，求。；(2)若人幻在x=2处取得极小值，求。的取值范围.2 .解析(1)因为/(x)=4x2-(4+l)x+4+3e*,所以/(幻=G?一(2+l)+2e/(I)=(Ia)e.由题设知/(l)=0,即(1)e=O,解得=l.此时y(l)=3e0.所以a的值为1.(2)f(x)=r2-(2+l)x+2eA=(Orl)(x2)et若则当X
