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1、3M/M/s排队模型一、单服务台模型（即MM1或M/M/1）到达间隔：负指数（参数为4:到达率）分布；服务时间：负指数（参数为:服务率）分布；服务台数：1;系统容量：无限；排队长度（客源）：无限；服务规则：FCFS.1.队长的分布设p,=PN=0,1,2,.为系统平稳后队长（有客的概率）,77=l,2,.,并记OVI）N的概率分布，则由(1),=1,2,.(累积服务率)(2) (无客的概率)(3) Pn=C“Po,11=l,2,.及4t=2,=0,1,2,.和n=(服务强度，一般)可得,n=1,2,.故有Pn=PltPo,九=1.2,.其中因此p”=(I-P)P,=0,1,2,.无客的概率：p
2、o=p,至少有一客的概率夕分服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,2=2,=5,则，即40%在忙.2 .几个主要指标(1)系统中平均顾客数=平均队长(2)系统中等待的平均顾客数=平均排队长可以证明(见其次版P328的注释)在M/M/1中，顾客在系统中逗留时间听从参数为的负指数分布，即密度分布函数:f(t)=-)evyt0.分布函数:F(r)=P(Tf)=l-3如J0.于是得(3)在系统中顾客平均逗留时间(4)在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间二等待时间7；+服务时间V,即=q+v故W=E)+E(V)=叱+1.从而得W=W-=-=pW另外还可得到(时间及空间关
3、系)：乙=丸卬和4=九%这两个常称为1.ittle公式.各公式可记忆如下：由义和今服务效率，从逗留时间今等待时间Wq=pW队长1.=AW排队队长1.q=P1.或1.q=Wq还可导出关系和3 .服务机构的忙期3和闲期/分析(1)因为忙期二至少一客的概率p,闲期=无客的概率I-P今忙期时间长度/闲期时间长度=一i-p(2)因为忙闲交替,次数平均分平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=上今.i-p(3)又由分布无记忆性和到达及服务相互独立性今任闲时刻起,下客到达间隔仍为/1负指数分布今平均闲期二下一客到达间隔一O11今平均忙期=B=上=W-p即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站
4、,设待编列车到达时间间隔负指数分布，平均到达率2列/h;编组时间听从负指数分布，平均20min可编组.已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站.求(I)在平稳状态下系统中列车的平均数；(2)每一列车的平均停留时间；(3)等待编组的列车的平均数.假如列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车的费用为a元小，求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解这里2=2,=3,(I)列车的平均数(小时)(2)列车的平均逗留时间(小时)(3)等待编组的列车平均数(列)(4)等待编组时间(小时)(5)记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为乂,则%=WPN2=W(
5、I-Po-PlPz)(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用E=2420.296a=4.2。(元).例2某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间听从负指数分布，平均须要6min.试求：(1)修理店空闲的概率；(2)店内恰有3个顾客的概率；(3)店内至少有1个顾客的概率；(4)在店内的平均顾客数；(5)每位顾客在店内的平均逗留时间；(6)等待服务的平均顾客数；(7)每位顾客平均等待服务时间；(8)顾客在店内等待时间超过IOmin的概率.解这里=4,/=1/0.1=10,(1)修理店空闲的概率PO=I-P=I-2/5=0.6(2)店内恰有3个顾客的概
6、率P3=(I-P)=O11-=0.038(3)店内至少有1个顾客的概率PTVl)=l-p0=p=2/5=0.4(4)在店内的平均顾客数rp2/5_.1.=0.67（八）I-P1-2/5(5)每位顾客在店内的平均逗留时间W=彳=X10(min)(6)等待服务的平均顾客数1.q=P1.=0.40.67=0.268(人)(7)每位顾客平均等待服务时间uz1.q0.268.、W=4(mn)q4(三)顾客在店内等待时间超过IOmin的概率.PT10=J(Iir11)=e-=0.3679.二、多服务台模型（即MMs或M/M/s）到达间隔：负指数（参数为2：到达率）分布；单台服务时间：负指数（参数为:服务率
7、）分布;服务台数:s;x=2=s=系统容量：无限；排队长度（客源）：无限;服务规则：FCFS.数据分析设P=PN=ZI=OJ2,为系统平稳后队长N的概率分布，则n=,n=0,1,2,.和系统的服务率n,n=1,2,3,.,5s,=$,$+1,记，则当00.667(=I-po)O.I67(=l-pw-p)等恃时间超过0.5小时的概率P(Tq0.50.4040.022等恃时间超过1小时的概率P(Tq10.2450.003假如是一个医生值班，则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达听从泊松过程,平均到达率每分钟X=0.9人min.服务(售票)时间听从负指数分布，
8、平均服务率=0.4人min.现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型，其中S=3,=2.25,ps=由公式可得：(1)整个售票处空闲概率=0.0748Po2.2502.252.2522.2530!1!2!3!1-2,25/31(2)平均排队长r0.07482.253-3/4.1.a=z=1.70(人)Q3!(14)2平均队长：1.=1.q+l=11+2.25=3.95(人)(3)平均等待时间(min)平均逗留时间W=IV+1/=1.89+1/0.4=4.39（分钟）（4）顾客到达后必需等（即系统中顾客数已有3）的概率c(3,2.25)2.2530.07483!14=0.
9、57.在上例中，若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队，则MM33个MM1如下图所示(b).（八）每个队的平均到达率为4=4=4=0.9/3=0.3（人/分钟）结果比较如下服务台空闲的概率P0WM/30.0748M/M/10.2每个子系统）顾客必需等待的概率P(n3)=0570.75平均排队长1.q1.702.25（每个子系统）平均队长1.3.959.00（整个系统）平均逗留时间W4.39（分钟）I（X分钟）平均等待时间Wq1.89（分钟）7.5（分钟）单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组动身、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车
10、站。其主要任务是依据列车编组安排的要求，大量办理货物列车的解体和编组作业。对货物列车中的车辆进行技术检修和货运检查整理工作，并且依据运行图规定的时刻，正点接发列车。所以，人们往往称编组站为编组列车的工厂。编组站的主要任务和作用可以归纳为：-一解编各种类型的货物列车.作业：5.1某店令有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人h,修理时间听从负指数分布,平均需IOmin.求(1)店内空闲的概率；(2)有4个顾客的概率；(3)至少有1个顾客的概率；(4)店内顾客的平均数；(5)等待服务的顾客的平均数；(6)平均等待修理时间；(7)一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率.5.2 设
11、有一单人打字室，顾客的到达为Poisson流,平均到达时间间隔为20min,打字时间听从负指数分布，平均为15min.求(1)顾客来打字不必等待的概率；(2)打字室内顾客的平均数；(3)顾客在打字室内的平均逗留时间；(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h,则主子将考虑增加设备及打字员.问顾客的平均到达率为多少时，主子才会考虑这样做？5.3 *汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速马路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s.由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门准备采纳新装置，使汽车通过关卡的平均时间削减到平均30s.但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的.依据这一要求，分析采纳新装置是否合算？
