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1、3-1-3多次相遇和追及问题一题库老师版I相遇追及问题3-1-3屡次相遇和追及问题教学目标1 .学会画图解行程题2 .能够利用柳卡图解决屡次相遇和追及问题3.能够利用比例解多人相遇和追及问题学问精讲板块一、由简洁行程问题拓展出的屡次相遇问题全部行程问题都是围绕路程=速度国时间这一条根本关系式绽开的，多人相遇与追及问题虽然较困难，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.例1（难度等级团）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到启程点？【解析】从起先到两人第十次相遇
2、的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300010=3000米,因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了300003.5=1400米，也就是甲最终一次离开启程点接着行了200米，可知甲还需行3.5+4300-200=101米才能回到启程点.【稳固】（难度等级0）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米.假如他们同时分别从直路两端启程，10分钟内共相遇几次？【解析】17【稳固】（难度等级西甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时启程，8分钟后两人第五次相遇，确定每秒钟甲比乙多走0l米，那么两人第五次
3、相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【解析】176二、运用倍比关系解屡次相遇问题【例2（难度等级三）上午8点8分，小明骑自行车从家里启程，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简洁的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到其次次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的124=3（倍）.遵照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8x3=24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑
4、行了4+12=16（千米）.少骑行24-16=8（千米）,摩托车的速度是88=1（千米/分），爸爸骑行16千米须要16分钟.8+8+16=32.所以这时是8点32分。【例3（难度等级EB）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后接着前进到达目的地后又立刻返回，其次次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米？【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路途，虚线表示乙车行进的路途）：可以发觉第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，其次次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它
5、们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95x3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95x3-25=285-25=260（千米）.【稳固】（难度级别回团）甲、乙二人以匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地3千米处其次次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【解析】4x3=12千米，通过画图，我们发觉甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。【稳固】（难度等级回团）甲、乙二人以
6、匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地5千米处其次次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【解析】4千米【稳固】（难度等级回团）甲、乙二人以匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地4千米处其次次相遇，求两人第5次相遇地点距B多远.【解析】12千米【稳固】（难度等级回团）甲、乙二人以匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地3千米
7、处其次次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【解析】90千米【稳固】（难度等级团团）甲、乙二人以匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地2千米处其次次相遇，求第2000次相遇地点与第2021次相遇地点之间的距离.【解析】4千米【稳固】（难度等级回团）甲、乙二人以匀整的速度分别从A、B两地同时启程，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人接着前进，走到对方启程点后立刻返回，在距B地13千米处其次次相遇，求AB两地之间的距离.【解析】41千米【例4（难度等级团盟）如图，甲和乙两人分别从一圆形场
8、地的直径两端点同时起先以匀速按相反的方向绕此圆形路途运动，当乙走了101米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又其次次相遇.求此圆形场地的周长.【解析】留意视察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完共走完1+1圈的路程，当甲、乙其次次相遇时，甲乙213=圈的路程.所以从起先到第一、二次相遇所需的时间比为1：3,因而其次次相22遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即101x3=300米.有甲、乙其次次相遇时，共行走（1圈60）+300,为3圈，所以此圆形场地的周长为480米.2【稳固】（难度等级03团）如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时启程反向行走，
9、他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点其次次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长.【解析】360【稳固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时启程反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点其次次相遇.确定C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【解析】340三、屡次相遇与全程的关系1.两地相向启程：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇,共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；,；第N次相遇，共走2N1.个全程；留意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次假如走了N米，以后每次都走2N米。2.同地同向启程：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全
10、程；第3次相遇，共走6个全程；,;第N次相遇，共走2N个全程；3、多人屡次相遇追及的解题关键屡次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差例5小明和小红两人在长IOl米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒.他们同时从跑道两端启程，连续跑了12分钟.在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？（6+4）=10（秒）.此后，两人每相遇【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：101。一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了12团60-10=710（秒）.求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，
11、就是相遇的总次数.列6+4）=10（秒）,（12-6010）（1002）=3510,共相遇35+1=36（次）Q注：解式计算为：101决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长.【例6】A、B两地间有条公路，甲从A地启程，步行到B地，乙骑摩托车从B地启程，不停地来回于A、B两地之间，他们同时启程，80分钟后两人第一次相遇,IOl分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【解析】B乙第一次相遇第一次追上由上图简洁看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在101-80=20(分钟)内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80+101)分钟内
12、所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(=180+20),那么BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B,共需走80团(1+9)=800(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为101分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时起先，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追刚好间也变为200分钟(二101(32),所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第101分钟，300分钟，500分钟和700分钟.2，二3人相遇后接着行进，甲到B地、乙到A地后立刻返回,确定两人其次次相遇的地点距第三次相遇的地点是101千米,那么，A、B两地相距千米.【解析】由于甲、乙的速度比是2:3,
13、所以在一样的时间内，两人所走的路程之比也是2:3.第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份,甲、乙分别走了2份和3份；其次次相遇时，甲、乙共走了三个AB,乙走了203=6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB,乙走了205=10份.乙其次次和第三次相距106=4（份）所以一份距离为：1014=25（千米）,那么A、B两地距离为：5x25=125（千米）【稳固】（难度等级豳团）小王、小李二人来回于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时启程，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，其次次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），那么甲、乙两地的距离为千米.【解析】由于两人同
14、时启程相向而行，所以第一次相遇必需是迎面相遇；由于此题中追上也算相遇，所以两人其次次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及.假如其次次相遇为迎面相遇，如下列图所示，两人第一次在A处相遇，其次次在B处相遇.由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到其次次相遇，两人合走2个全程,所以这期间小王走了3团2=6千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为（6-3）2=1.5千米，甲、乙两地的距离为6+1.5=7.5千米；【例7（难度等级00S）甲、乙两人分别从A、B两地同时启程相向而行，乙的速度是甲的王甲李乙王甲李乙假如其次次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相
15、遇，相遇后小王接着向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王.在这个过程中，小王走了6-3=3千米，小李走了6+3=9千米，两人的速度比为3:9=1:3.所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9+3=12千米.所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米.【稳固】（难度级别000）A,B两地相距540千米。甲、乙两车来回行驶于A,B两地之间，都是到达一地之后立刻返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地启程后第一次和其次次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【解析】第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，其次次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以依据总结和画图推出：从第一次相遇到其次次相遇，乙从第一个P点到其次个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。其次次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样依据总结：2个全程里乙走了（540+3）4=1804=730千米，乙总共走了730x3=2160千米。【例8（难度级别三）小张与小王分别从甲、乙两村同时启程，在两村之间来回行走（到达另一村后就立即返回），他们在离甲村3.5千米处
