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1、建文外国语学校高二年级数学学科导学案主备：审核：授课人：授课时间：学案编号：班级：姓名：小组：课题：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课型:新授课老师“复备”栏或学生质疑、总结栏【学习目标】1 .驾驭空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2 .驾驭空间向量的坐标运算的规律；【重难点预料】1.重点：空间向量基本定理及其推论3 .难点：空间向量基本定理唯一性理解【学法指导】自主学习,合作探究【学习过程】自主学习案一、课前打算(预习教材丛.找出怀疑之处)复习1.平面对量基本定理：对平面上的随意一个向量?，。力是平面上两个向量，总是存在实数对(乂)，)，使得向量P可以用。力来表示，表达
2、式为,其中叫做.若a_1.b,则称向量P正交分解.复习2：平面对量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取X轴和y轴上的向量V.作为基底,对平面上随意向量。，有且只有一对实数x,y,使得=H+yj,则称有序对(x,y)为向量。的，即4=.二、新课导学X学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的随意向量。，能否用空间的几个向量唯一表示？假如能，那须要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：(1)空间向量的正交分解:空间的随意向量4,均可分解为不共面的三个向量44、4%、否为,使+4%+4%,假如4，。2，。3两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：假如三个向量4,C,
3、对空间任一向量，存在有序实数组x,y,z),使得P=Xa+W+zc.把的一个基底，a,b,c都叫做基向量.反思：空间随意一个向量的基底有个.W单位正交分解：假如空间一个基底的三个基向量相互,长度都为，则这个基底叫做卑位正交基底，通常用d,j,k)表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系。灯Z和向量4且设力j、k为X轴、y轴、Z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组x,y,z),使得。=*+),+zZ,则称有序实数组(x,y,z为向量a的坐标，记着P=.设4(,y,Z),Bx2,y2,z2),则AB=.向量的直角坐标运算：设6=(4,02,6),b=S也也)，则(Da+b(q+瓦,a2+仿
4、,为+4)；(2)fib(q瓦,%“2，6bj；a=(ax,a2,a3)(?)；(4)ab=ah+%瓦+aybi.试试：1 .设=2+3A,则向量。的坐标为2 .若4(1,0,2),5(3,1,T),则AB=.3 .已知6=(2,-3,5),b=(-3,l,Y),求c+b,ab,8a,ab学问点一向量基底的推断例1已知向量仇。是空间的一个基底，从向量4,仇。中选哪一个向量，肯定可以与向量p=+b,q=-b构成空间的另一个基底？变式1.己知Q4比C为空间四点，且向量。4,0及OC不构成空间的一个基底，那么点比。是否共面？变式1.以下四个命题中正确的是()A,空间的任何一个向量都可用其它三个向量表
5、示B.若a,A,c为空间向量的一组基底，则m尻C全不是零向量C.4ABC为直角三角形的充要条件是AB仄2=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量肯定不共面.学问点二用基底表示向量例2如图，M/V分别是四面体Wr的边如欧的中点，月。是1W的三等分点，用OA。仇OC表不OP和OQ.变式：已知平行六面体ABCr)-AECD,点G是侧面48CC的中心，且OA=,0C=b,00=C,试用向量4,b,c表示下列向量：(l)0BBACA(2)OG.学问点三求空间向量的坐标例3.已知必垂直于正方形ABCQ所在的平面，M、N分别是A4
6、,PC的三等分点且PN=2NC,AM=2M8,PA=AB=求MN的坐标.Tl变式：在直三棱柱ABO-AiBQi中，ZAOB=,AO=4,B0=2,2IAAIl=4,D为AIBI的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中,求DO,AB的坐标.练1.已知.=(2,-3,l),=(2,0,3),c=(0,0,2),求:(B+c);(2)a+6b-Sc.练2.正方体夕C10的棱长为2,以A为坐标原点，以AB,AD,AA为X轴、y轴、Z轴正方向建立空间直角坐标系，则点。，ACiAC的坐标分别是,.三、总结提升派学习小结1 .空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2 .空间向量坐标表示及其运算X学问拓展建立空
7、间直角坐标系前，肯定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则依据已知条件，通过作协助线来创建建系的图形.课后练习案1 .若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是()A.a,a+bya-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+2b,a+b,a-b2 .设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中X轴、y轴、Z轴正方向的单位向量，且AB=T+厂女，则点B的坐标是3 .在三棱锥力比中，G是ABC的重心(三条中线的交点)，选取。人。仇OC为基底，试用基底表示OG=4 .正方体AB的棱长为2,以力为坐标原点，以AB,AD.AA为A轴、y轴、Z轴正方向建立空间直角坐
8、标系，E为BB内点、,则E的坐标是.5 .己知关于X的方程/一(-2)1+/+3/+5=0有两个实根，c=+仍，且=(-l,l,3),=(l,0,-2),当t=时，C的模取得最大值.6 .已知正方体力BCo-Al办GQl中，点O为AG与BDl的交点，AO=AByBC-zCCif则x+y+z=.7 .在长方体ABCABIGG中，下列关于ACl的表达式中：AAl+aGi+A力；AB+Z)Di+d？Ci;AZ)+DD+51Ci;-(ABi+CD1)+aCi28 .已知A=(3,5,-7),=(-2,4,3),求AB,8A,线段AB的中点坐标及线段的的长度.9 .已知2出工是空间的一个正交基底，向量+C是另一组基底，若P在a,Ac的坐标是(1,2,3)求在+6,4-b,c的坐标.10 .正方体A8CD4囱Gd中，点上是上底面ABlGR的中心，求下列各式的Ky,z值(1)BDi=xAD+yAB+zAAl(2)AE=xAD+yAB+zAA,
