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1、导教习题题型十七：合多藏导致河题的分类讨论问题含参数导数问题的分类甘论问题1.求导后，导函数的解析式具有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(x)=g3-g(+2)2+20r(a0),求函数的单调区间,(x)=x-(a+2)X+2a=(x-a)(x-2) 例1已知函数/(幻=X-二-(+2)lnx(a0)求函数的单调区间X,X2-(a+2)x+2a_(x-2)(x-a)J=2-xixi 例3已知函数f(X)=J1(eR),其中qR.(I)当4=1时，求曲线y=(力在点(2,7(2)处H勺切
2、线方程；(II)当。工0时，求函数/(x)H勺单调区间与极值。解：(I)当Q=I时，曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线方程为6x+25y32=0。(II)由于0,因此/()=2j+iy2,由/(x)=0,得七=一,为=。这两个实根都在定卜+1Ja,z、2(x2+l)-2x(2or-6/2+l)-2a()卜+：/X)=5二-=-义域R内，但不知它们之间卜由)(XM)三大小。因此，需对参数日勺取值分。0和lv两种状况进行讨论。当10时，则药冗2。易得F(X)在区间(一8,(,+8)内为减函数，在区间卜J,)为增函数。故函数力在百二一：处获得极小值/1)=-/；函数/(x)在毛=4处获得极大值/
3、()=1。(1)当。0时，则不赴。易得“X)在区间(一8，。)，(一+8)内为增函数，在区间3-十)为减函数。故函数“X)在=-：处获得极小值函数X)在%=0处获得极大值/（）=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的次序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题H勺讨论，还是有一定H勺规律可循的。当然，在详细解题中，也许要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂某些了，需要灵活把握。（区间确定零点不确定的典例）例4某分企业经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总企业交a元（3WaW5）的管理费，估计当每件产品的售价为X元（9
4、xll）时，一年的销售量为（12-）2万件.（1）求分企业一年的利润1.（万元）与每件产品的售价X於I函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分企业一年日勺利润1.最大，并求出1.的最大值Q（八）.解（1）分企业一年的利润1.（万元）与售价X的函数关系式为：1.=（-3-a）（12-）2,x9,11.(2)1.,(x)=(12-)-2(-3-a)(12-)93y,=(12-)(18+2a-3x).令1.=O得x=6+2a或x=12(不合题意，舍去).3V3a5,86+-a-.33在x=6+2a两侧1.B值由正变负.3因此当86+-a9即3a2时，32UX=1.(9)=(9-3-a)(12
5、-9)2=9(6-a).当96+-a-W-a5时，9(6-a),4(3-1a)3.9-a5.23321.nex=1.(6+-a)=(6+-a-3-a)12-(6+-a)2=4(3-la)3.01tQ（八）=3333答若3Wa0)上的最小值;(III)对一切的X(0,-R3),2(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.解：(I)f(X)=InX+l,(x)0,解彳00,解得冗，“幻的单调递增是(e,+8),(II)(i)0tt+2-,t无解；(ii)0t-t+2,即0t时，/(x)min=/(一)=-；eeeee(iii)-r+2,即r,时，/(x)在rJ+2单调递增，/(x)min=/(
6、0=tint9分ee1 o-,/(x)mine，tintte(III)由题意：2xlnx0；当1时，h(x)()、=()、()时，求导函数的零点再根据零点与否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) 1已知函数=x3-x2+(l-)x,求函数的单调区间f,(x)=x2-x+(l-d)=(l-x)(ar-l+d) 例2已知函数f(x)=(l+)lnx+罗(a0),求函数的单调区间m、OX2-X+(l-)(X-1)(X-I6f)J(X)=XX 例3已知是实数，函数f(x)=J7(x-)(I)求函数/(x)的单调区间；(II)设g()为F(X)在区间0,2上的最小值。(Z)写
7、出g()H体现式;()求。的取值范围，使得-6g(4)-2。/吟31X解：(I)函数的定义域为0,E),f()=7+号=上%0),由F(X)=O2x2x2得X=。考虑与否落在导函数/(x)三定义域(0,+8)内，需对参数。时取值分0及。0两种状况进行讨论。(1)当0时，则f(x)O在(0,+8)上恒成立，因此f(x)的单调递增区间为0,+8)。(2) 当0时，由/(x)0,得x;由/(x)0,得0x0时，/(力的单调递减区间为,/(力的单调递增区间为早+)(II)(/)由第(I)问三结论可知：(1) 当a0时，6在0,”)上单调递增，从而“X)在0,2上单调递增，因此g()=0)=0(2) 当
8、0时，/(x)在0,1上单调递减，在早+8)上单调递增，因此：当(0,2),即0v6时，力在上单调递减，在1,2上单调递增，因此g()=“卜TA=一喈。当12,+8),即16时，/(x)在0,2上单调递减，因此g（八）=(2)=J(2-a).O,综上所述，g()=2aaJ,0a63V3V(2-q)m6(zf)令-6g()2若0,无解;若OV6,由一6-2解得36;若白6,由一60(2-4)-2解得6a2+3综上所述，4的取值范围为32+3j5.三.求导后，因导函数为零与否有实根(或导函数0分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论。例1已知函数F(X)=T2+X求函数的单调区间f,(x)ax+l例
9、2已知函数f(x)=lnx-以求函数的单调区间fx)-af,(x)=-a+1XX,x1例3设&R,函数/(x)=1-:,F(x)=f(x)-kx,x三Rf-Jx-I,X1试讨论函数F(X)H勺单调性。,x1解：*/f(x)=1-x,F(x)=f(x)-kx,x三R-Jx-l,X111KXiX,F(x)=f(x)-kx=H-x,F(x)=12,O,得1X0,得Rl+y;由F(x)V,得l0,讨论函数f(x)=lnx+a(l-a)x2-2(l-a)X的单调性。.,J.M1.JI、i_。、/，/、2(lc)x2(1d)x1解：函数/(X)的定义域为(0,+8).f(X)=X当01时,方程2a(a)x?-2(1-)x+1=0的鉴别式=12(a-1)当OCaCg时,(),/*)有两个零点,J叵更亘0,“1.旦亘2a2a(-d)2a2(l-a)(1)1a3且当0x电时,/(X)0,/(X)在(0,%)与(电,+0)内为增函数;当XI工工2时，/(幻，/(冗)在(工1，2)内为减函数;当;0(R0),/(X)在(0,+oo)内为增函数；X当
