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1、4.1.1直角坐标系1 .驾驭在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2 .对详细问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果.I基础初探1 .直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直战的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴.数轴上随意一点P都可以由惟一的实数X确定，*称为点P的坐标.2 .平面直角坐标系在平面上，取两条相互垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.平面上随.意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)酹定，(,世称为点P的坐标.3 .空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交了一点的三条
2、直线，取这：条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系.空间中随意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x,AZ)确定，EV，称为点P的坐标.I思索探究1 .建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)假如图彩有对称中心，可以逸环时称中心为坐标原焦：(2)假如图存有对称轴，可以选洋对称轴为坐标轴：(3)使图脑上的特别点尽可能多的落在坐标轴上.2 .由坐标(x,)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(a;O),f(0.)作X轴和.v轴的垂线,两条直线的交点P即(.r,W所喘定的点.I质疑,手记I预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们
3、”探讨沟通：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：*-1.建立适当的坐标系刻画点的位置相口正方形的边长等于4,试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标.【自主解答】法-以正方身的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴,且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图)所示.此时，其四个顶点的坐标分别为0(0.0)、4(4.0).(4.4).C(0.4),中心为M(2.2).法二以正方班的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平而直角坐标系，如图(2)所示.此时，正方舫的顶点坐标分别为4(2,2)、8(2,2)、。-2.2)、D(-2,-2),中心为50.0).法三以正方舟的两条对
4、前线为坐标轴成立面的坐标系，如图(3)所示.此时，正方形的顶点生标分别为42啦，0、8(0,26)、C(-22,0),ZXO.-22),中心为.().(作图时只要以用(2)中的原点。为圆心，OA为半径作圆，该国与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方影的各个顶点)I再练一题1 .选择适当的坐标系,表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标.【导学号：98990000【解】法-以近角三甭形的两条近角边人。、8C所在支线分别为X轴、)，轴，建立如图(1)所示的平而走.角坐标系，lC(0.0),4(1,0),(O,l).法二以斜边AB所在直线为.轴，蝮段48的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平
5、面直角坐标系.则A(一孚，0),3(乎，0),C(0,乎).建立坐标系解决证明问题用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高.【自主解答】如图，在AABC中，AB=AC,P为8。运长线.上一点，PD1.AB于D.PE2.AC于E,CF1.tB于F,以BC所在丸支为X轴,以8C的中垂理为)，轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(0,b),B(-a.0),C(aO)(O,b0),则立线AB的方程为b-qv+abO,直线.AC的方程为fev+rtvh=O,取P(xi.O),使xa.则点P到立线AB.AC的距离分别为-O+t/?|bx(+abPD=?+=卡+声fero+O_
6、a2+b2bxt-ab点C到直线AB的距离为_I丝+西_Iabcr+b2,a2+ir-ah则PD-PE=-T=CF.ycr+b-故所需证明命越成立.I再练一题2 .已知BC中，AB=AC,BD.Cf分别为两腰上的高，求证：BD=CE.【证明】如图,以BC所在直线为X轴，8C的垂直平分线为F轴建立平而览角坐标系.HB(-a.Q),CX,O),4(0,)Jl1I立线AC的方程为V=-r+,即：hx+ay-ah=().近浅共8的方程为v=+i.即：/ir.y+R=O.由点到直线的距离公求得：CE=2ah?+a5CdiD=CE.建立坐标系求轨迹方程B如图4-1-1所示，过点片2,4)有两条相互垂直的直
7、线Z1,12.八交X轴干A点,A交y轴TB点，求线段AB的中点M满意的方程.图4-1-1【思路探究】法一版司T求斜率H1率积为一IH整理存方程I-检查有无不适合而川一网法二假,W(v,同一导泵M满意的条司一丽凰一陲有无不适合的点I-幽法三b，人，R8丁点共圆卜丽二地一!求人5及。尸中点坐标卜点一式写出a的垂直平分线方程为所求I【自主解答】法一设点M的坐标为(x,)，)，因为M为姣段AB的中点，所以点A的坐标为(Zv1O),点86勺坐标为(0,2)，).因为八J2,X.过点P(2.4),所以kkpB=-1.4042vC2-V而AW=KKT(XHD,w=5三所以二111=-l(rl),受理.得X乙
8、v乙21-+2v-5=()(1).因为当x=l时，点A,8的坐标分别为(2,0),(0,4),所以姣段4的中点坐标是(1.2),它满意方程x+2,-5=0综上所述，点M满第的方程是x+2y5=0.法二设点M的坐标为(x,),则A,8两点的坐标分别是(Zr,O),(0,2y),连接PM.因为1.伍所以PM=AB.而PW=(-2)2+b-4)2,B=(2a)2+(2)2,所以2/l2)?+(厂4)2=叱1.+4.,化为，得*+2厂5=0,即为所求方程.法三因为2,OA1.OB,点M为线段AB的中点，所以O,A,P,B四点共圆，且该圆的圜心为M(x,y),所以PW=Al。，所以点W的轨逆为线段OP的
9、至直平分蟆.4一O因为A=T石=2,OP的中点坐标为(1,2),所以点M满意的方程为y-2=-(,v-1),化同得x+2y-5=0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法.解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系；(2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应,列出儿何条件，并将几何条件代数化)：(4)化简(留意变形的等价性)：(5)证明(若保证等价变形，则此步喘可以省略).I再练一题3.设例(-lF+y2=l的圆心为C过原点作网的弦OA，求中点8的轨迹方程.【解】法一(干脆法)：设B点坐标为(.r,y),由题意，OBz+BC-=OC2,如图所示
10、，即F+y2+(-l)2+y2=l,即OA中点B的软迹方程为。一；)+3=/去掉原点、).法二(几何法)：设8点坐标为(.r,y),由西意知C8JO.OC的中点记为0),|MBC,故B点的状迹方程为(x-1尸+=幺去掉原点)./*法三(代入法)：设A点坐标为(.r,y),8点坐标为(x,y),Xi.v=y.Vly=2dx=2xb=2v.又因为(一)2+.N=,所以(2r-)2+(2y)2=l,(-1)2+)2=；(去掉原点、).法四(文点法)：设直线。人的方程为y=h,当A=O时，H为(1,0):当A0时，在线BC的方程为：产一/1,X1.O,8C的方程联立消去A即得其交点轨证方杼：炉十Mr-
11、I)=0,即(X-J)2+y2=工0),明显及(0满意覆一务?+)?=；.故(工一；)2+)2=；(去掉原点)为所求.真题链接赏析I链接(教材第16页习题4.1第4趟)据气象台校报.在A市正东方30Okm的3处有一台风中心形成，并以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心25Okm以内的地区将受其影响.问：从现在起经过多少时间，台风将影响人市，持续时间多长？汾赏析已知8村位于A村的正西方向I公里处，原安排经过B村沿着北偏东60。的方向埋设一条地下管线m但在A村的西北方向4(X)米处，发觉一古代文物遗址W依据初步勘察的结果，文物管理部门聘遗址W四周10()米范图划为禁区.试问：埋设地卜管
12、线，”的安排须要修改吗？【命题意图】本题主要考费合理建立直角坐标系.并能应用其解决实际问题的实力.【解】以A村为原点，直线84为X轴，建立如图所示的坐杯系.则点8坐标为(一100o.0),点卬坐标为(一200i,20O2),由题意，管线?的斜率为A=Ian30P=坐所以管技析所在的方程为.v=坐x+1(XX),化前得lr-3y+100o3=0,即-3y+1()00=0.点W到该直线所的距离为-2006-20()2+l0001=3+T二500-1(X)2-1006=l(5-2-6).因为5-2-6I,所以dI(X).故管线，不会穿过禁区，故该安排不须要修改.1.已知点P(l+2/n,-3。在第三
13、象限，则加的取值范围是.【解析】V第三象限点、的坐标特征是横坐标与坡坐标均小于0,1+2n0,-3-z110,m-3.【答案】(-3,I)2.点”2,-3.一I)关于.Mh坐标平面对称的点的坐标是【解析】,.P(,1,二)关于平而)Oz坐标平面对称的为点(一X,y,z),点(2,3,-I)关于N)Z平面的对称点为(2,3,I).【答案】(-2,-3,-1)3 .AABC中，(-2,0).C(2,0),ZU8C的周长为10,则八点的轨迹方程是.【解析】VBC=4,.AB+AC=10-BC=6C,二4的轨迹为桃圆除去从C两点，.设桃圆方程为$+/=1,故20=6,2c=4,即=3,c2,.,.r=32-22=5.WV2故轨迹方程为可+行=16工0).【答案】ff=(y0)4 .点(-2,-3)关于直线3x+4y+5=0对称的点的坐标为.【导学号：98990001【解析】设所求对称点为(乂y),则_28r=2529)25-所求对称点坐标为怎，).【答案】砥第我还有这些不足：(1)我的课下提升方案：
