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1、微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程以2+公+C=O(OHO)的实根符号与系数之间的关系=/?2-4acO(1)方程有两个不等正根西,wObx+x2=OaCXyX2=Oa=2-4acO(2)方程有两个不等负根%,9o-bx+X2=0a(3)方程有一正根和一负根，设两根为冷WOXlw=上0)的两根，则一元二次OX2+bx+c=O(aO)的根的分布与其限x1X20bO1.加XObObn2a/(w)Ok/(w)O/()O5)0y7(m)O在区间（孙）内有两个不等实根1.kI0bm0,fWO【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题
2、题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1.已知相为实数，命题甲：关于X的不等式皿2+如-4VO的解集为R;命题乙：关于X的方程V-2nr+机+20=0有两个不相等的负实数根.若甲、乙至少有一个为真命题，求实数，”的取值范围为【答案】（-20,01【解析】由命题甲：关于X的不等式标+侬_40的解集为R,当帆=0时，不等式T0恒成立；fw0当ZWWo时，则满足，、M八，解得T6m0,=m+16n0综上可得-16O整理得“-20=4m2-4(/n+20)O则满足x1+x2=2mOm5所以用0,解得一20z-20所以甲、乙至少有一个为真命题时，有-16vn0或-20zT,可得-20V帆0,即
3、实数的取值范围为（-20,0.故答案为：（-20,0.例2.关于X的方程以2+2x+l=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为.【答案】0或。=1【解析】若方程以2+2x+l=0有且仅有一个负实数根，则当=0时，=-i,符合题意.当。HO时，方程加+2+=0有实数根，则A=4-420,解得l,当。=1时，方程有且仅有一个负实数根X=-1,当且。工。时，若方程有且仅有个负实数根，则20,即0.a所以当0或=l时，关于X的方程w2+2x+l=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于X的方程ad+2x+l=0的实数根中有且仅有个负实数根”的充要条件为”0或。=1”.故答案为：0或a=l.
4、例3.若一元二次方程依2+3丘+女一3=0的两根都是负数，求4的取值范围为.12【答案】k3【解析】首先&0,设方程h:3履+上一3=0的两根为不，天，则菁0,工20所以A=9%2-4%(%-3)03kC。12,又A0,解得&一3.12故答案为：k-?或A3.例4,已知关于X的二次方程(2m+1口2一2,加+?-1=0有一正数根和一负数根,则实数机的取值范围是【答案m2【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，2m+l0得?一1W解得Tm.2m+1故答案为：-5zVl例5.若不等式or2+加-10的解集是11-1x(),则T或一，3+1八“1由题意，方程有两个负根，即:解得Y0,a综匚实数的
5、取值范围是-O,k+1八xlx2=O4k,解得：0【解析】设Cr)=+l,由题意知/(l)=2+0,解得一q0故答案为：(一1一2).例8.已知关于X的方程f-2x+=0.(1)当。为何值时，方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)当。为何值时，方程的一个根大于T且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)当。为何值时，方程的两个根都大于0?【解析】(1)二次函数)=-2x+的图象是开口向上的抛物线，故方程f-2x+=0的一个根大于1,另一个根小于1,则F-2+0由图知，l-2+67O4-4+d0解得-3VO.所以a的取值范围是。|3a0(,1则匕0，解得0al,所以”的取值范闱是00/(l)=
6、3-a0/(3)=ll-5fl0解得2*例10,已知二次函数y=x2-Z+一IaeR).故答案为:(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式f-2+*0;(2)若关于X的方程V2次+产-1=0的两个实根均大于-2且小于4,求实数t的取值范围.【解析】(I)设二次函数y=2-2+f2-l(rsR)的两个零点分别为为，*2,由已知得内+W=。,而X+x2=2r,所以2/=0,故r=0,不等式f-2a+产一l0即V-io,解得l或-l,故不等式的解集为l或=(-2t)2-4(t2-l)0-2t0(2)因为方程-2比+产-1=的两个实根均大于-2且小于4,所以42-2t4+t2-l0j40-2
7、/0r2-8r+150解得：-1O3,即实数/的取值范围为小1U3例I1.求实数6的范围，使关于X的方程f+2(m-l)%+2m+6=0.(I)有两个实根，且一个比2大，一个比2小;(2)有两个实根且满足OVaVIV夕4；(3)至少有一个正根.【答案】(DmV-IC75(2)n54(3)w-l【分析】设y=(x)=V+2(m-l)x+2w+6,一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.(1)设y=f(x)=x2+2(m-l)x+2n+6依题意有/(2)0,即4+4(m一l)+2m+6v,得加0依题意有/(1=4w+50设=()=2+2(M-l)+2M+6方程至
8、少有一个正根，则有三种可能:有两个正根，此时可得0/(O)0,即.0-2机4一1或wt5m-3.-3/H-1.rn1有一个正根，一个负根，此时可得/(0)0,得mv-3.6+2/w=O有一个正根，另一根为0,此时可得“n八,.机=-3.2(m-I)o所以/(l)0a2-a-20gp7-a-3+c2-a-20,解得-2vqv-1或30所以实数。的取值范围为(-2,T)1(3,4),故答案为:(-2-l)(3,4).例13.关于X的方程x2-S-l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，则实数”的取值范围是【答案】(5,g【解析】关于X的方程幺一(4l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，令/(x)=d-(-l)x+4,=(-1)2-160解得5ag,则有1W3/(1)=6-0/(3)=16-30所以实数。的取值范围是(5,.故答案为：(5,y例14.方程f-(2-)1+5-。=0的两根都大于2,则实数。的取值范围是【答案】-50,即a2a+50f2-a4故答案为：-5aK-4例15.已知关于X的方程以2+k+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数的取值范围是【答案】(-3,0)【解析】显然00,关于工的方程渥+x
